Verificou-se que, numa determinada população, 1   de cada 7   pessoas sofre da doença 𝐴   , e 1   de cada 10   pessoas sofre da doença 𝐵   . Também foi observado que, de cada 10   pessoas que sofrem de uma ou duas doenças, uma pessoa sofre de ambas as doenças. Se 𝑝   é a probabilidade de uma pessoa dessa população sofrer das duas doenças, e 𝑞   é a probabilidade de ela sofrer da doença 𝐵   dado que ela sofre da doença 𝐴   , calcule 𝑝   e 𝑞  

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações contidas no enunciado:

  • 𝑃 𝐴   =   1 7
  • 𝑃 𝐵   =   1 10

A parte mais complicada dessa questão é identificar qual conjunto representa o evento “de cada 10 pessoas que sofrem de uma ou duas doenças, uma pessoa sofre de ambas as doenças”. O que essa frase nos diz? É que dado que 10 pessoas sofrem de uma ou duas doenças temos a que 1 pessoa sofre das duas doenças. De forma matemática fica:

  • 𝑃 𝐴   ∩   𝐵   𝐴   ∪   𝐵   =   1 10

Onde 𝑃 𝐴 𝐵   =   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 .

Queremos calcular 𝑞   =   𝑃 𝐵 𝐴 e

𝑝   =   𝑃 𝐴   ∩   𝐵

Passo 2

Agora que extraímos todas as informações do texto vamos calcular as probabilidades de interesse. Vamos começar calculando 𝑝   =   𝑃 𝐴   ∩   𝐵

Sabemos que para dois conjuntos 𝐶 , 𝐷   quaisquer 𝑃 𝐶   ∪   𝐷   =   𝑃 𝐶   +   𝑃 𝐷   −   𝑃 𝐶 ∩ 𝐷  

Então:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∪ 𝐵   =   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵

  =   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑃 𝐴   +   𝑃 𝐵   −   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

  =   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴   +   𝑃 𝐵   −   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

  =   1 10

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴   +   𝑃 𝐵   −   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵   =   1 10

⇒   10 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵   =   𝑃 𝐴   +   𝑃 𝐵   −   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

⇒   11 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵   =   1 7     +   1 10  

⇒   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵   =   17 770  

Passo 3

Agora que temos o valor de 𝑝   =   17 770 , podemos calcular 𝑞   .

𝑞   =   𝑃 𝐵 𝐴

=   𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐴

=   𝑝 𝑃 𝐵

=   7 𝑝  

=   17 110

Resposta

17 770 , 17 110

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