Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

Ver Teoria
Exercício 2134567891011121314

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 π cos ⁡ ( u + v + w )   d u d v d w

Passo 1

Integrando de dentro para fora, fazemos primeiro a integral em u :

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

Obs: Note que quando você deriva s e n ⁡ ( u + v + w ) , pela regra da cadeia, você ficaria com:

sen ⁡ u + v + w ' = cos ⁡ u + v + w . u + v + w ' =

= cos ⁡ u + v + w . 1 + 0 + 0 = cos ⁡ ( u + v + w )

Portanto a integral de cos ⁡ ( u + v + w ) é simplesmente o seno da mesma função!

Voltando para a nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

= ∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ ( π + v + w ) - s e n ⁡ ( v + w ) d v d w

Passo 2

Integrando em v :

∫ 0 π - cos ⁡ π + v + w + cos ⁡ v + w v = 0 v = π d w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + cos ⁡ π + w - - cos ⁡ π + w + cos ⁡ w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + 2 cos ⁡ π + w - cos ⁡ w d w

Passo 3

Finalmente, integrando em w :

- sen ⁡ 2 π + w + 2 sen ⁡ π + w - sen ⁡ w w = 0 w = π =

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

Só que sabemos que sen ⁡ ( k π ) = 0 para qualquer k ∈ Z

Logo:

sen ⁡ 3 π = sen ⁡ 2 π = sen ⁡ π = sen ⁡ 0 = 0

Portanto:

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

= 0

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,0,0 , 1 , 0,2 , 0e2,2 , 0 .
Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla. ∭ T x zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 1 ) , ( 0,1 , 1 ) e ( 0,0 , 1 )