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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Exercício 8123456791011121314

Enunciado

Origem do Exercício

Seja f x , y , z = x 2 y 1 3 z . Calcular o valor da integral tripla da função f ( x , y , z ) em relação às variáveis x , y e z onde x varia no intervalo [ 1,3 ] , y varia no intervalo 8,27 e z varia no intervalo [ 1 , e ] .

  1. 455 / 3
  2. 455 / 2
  3. 845 / 2
  4. 455 / 4
  5. 845 / 3

Passo 1

Vamos começar montando a integral:

I = ∫ 1 3 ∫ 8 27 ∫ 1 e x 2 y 1 3 z   d z   d y   d x

Cuidado para não errar a ordem dos diferenciais!

Quando temos essas integrais triplas sobre regiões “cúbicas”, em que todos os limites de integração são constantes, podemos arrumar a integral de uma forma bem mais fácil:

I = ∫ 1 3 ∫ 8 27 x 2 y 1 / 3   d y   d x ∫ 1 e 1 z     d z

Já que quando integramos em relação a z o x e o y são constantes, e podem ser colocados “para fora” da integral.

Fazendo isso mais uma vez, chegamos em um produto de três integrais:

I = ∫ 1 3 x 2   d x ∫ 8 27 y 1 / 3   d y ∫ 1 e 1 z d z

Passo 2

Vamos começar calculando as versões indefinidas dessas três integrais:

∫ x 2   d x = x 3 3 + C 1

∫ y 1 / 3   d y = 3 4 y 4 / 3 + C 2

∫ 1 z   d z = ln ⁡ z + C 3

E substituindo os limites de integração, achamos os seguintes resultados:

∫ 1 3 x 2   d x = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3

∫ 8 27 y 1 / 3   d y = 3 4 27 4 3 - 8 4 3 = 3 4 81 - 16 = 3 4 65 = 195 4

∫ 1 e 1 z d z = ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1 - 0 = 1

Passo 3

Agora podemos multiplicar todos os resultados para encontrar a integral:

I = ∫ 1 3 x 2   d x ∫ 8 27 y 1 / 3   d y ∫ 1 e 1 z d z

I = 26 3 195 4 1 = 5070 12 = 2535 6 = 845 2

Ou seja:

I = 845 2

Resposta

Letra (c).

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,0,0 , 1 , 0,2 , 0e2,2 , 0 .
Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla. ∭ T x zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 1 ) , ( 0,1 , 1 ) e ( 0,0 , 1 )