Seja f(x, y, z) = (x^2 * y^(1/3)) / z . Calcular o valor da integral tripla da função f(x, y, z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1,3] , y varia no intervalo [8,27] e z varia no intervalo [1, e] .

(a) 845 / 3

(b) 455 / 3

(c) 845 / 2

(d) 455 / 4

(e) 455 / 2

Passo 1

Bom, vamos começar montando essa integral. Todos os limites de integração são números, então nem precisamos nos preocupar muito com a ordem:

∫ 1 e ∫ 8 27 ∫ 1 3 x 2 y 1 3 z   d x   d y   d z

Agora temos que resolver essa integral.

Passo 2

Quando estamos integrando o x , por exemplo, tanto o y quanto o z são considerados constantes, e assim por diante para as outras variáveis.

Isso quer dizer que se a gente for “tirando” as constantes em cada integral, vamos chegar nessa situação aqui:

∫ 1 e 1 z d z ∫ 8 27 y 1 3 d y ∫ 1 3 x 2   d x

Beleza, agora é só resolver essas integrais. Vamos deixar aqui a fórmula (indefinida) de cada uma delas:

∫ 1 z d z = ln ⁡ z + C

∫ y 1 3   d y = 3 4 y 4 3 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

Passo 3

Então tá, vamos “abrir” aquelas integrais e substituir os limites de integração:

∫ 1 e 1 z d z ∫ 8 27 y 1 3 d y ∫ 1 3 x 2   d x

Vamos escrever a forma indefinida de cada uma das integrais com os limites de integração ao lado:

ln ⁡ z e 1     .     3 4 y 4 / 3   27 8 . x 3 3 3 1

E agora é só substituir:

ln ⁡ e - ln ⁡ 1 . 3 4 27 4 3 - 3 4 8 4 3 . 3 3 3 - 1 3 3

A gente sabe que o logaritmo natural de e é simplesmente 1 e o de 1 é zero, então:

ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1

O segundo fator você pode resolver com uma calculadora:

3 4 27 4 3 - 3 4 8 4 3 = 3 4 81 - 16 = 195 4

E o terceiro é bem fácil de calcular:

3 3 3 - 1 3 3 = 27 3 - 1 3 = 26 3

Agora é só multiplicar tudo isso:

1 195 4 26 3 = 5070 12 = 845 2

Pronto! Esse é o valor da integral tripla que foi pedida.

Resposta

Letra (c). 845 / 2 .

Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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