Origem do Exercício
Seja . Calcular o valor da integral tripla da função em relação às variáveis e onde varia no intervalo , varia no intervalo e varia no intervalo .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Bom, vamos começar montando essa integral. Todos os limites de integração são números, então nem precisamos nos preocupar muito com a ordem:
Agora temos que resolver essa integral.
Passo 2
Quando estamos integrando o , por exemplo, tanto o quanto o são considerados constantes, e assim por diante para as outras variáveis.
Isso quer dizer que se a gente for “tirando” as constantes em cada integral, vamos chegar nessa situação aqui:
Beleza, agora é só resolver essas integrais. Vamos deixar aqui a fórmula (indefinida) de cada uma delas:
Passo 3
Então tá, vamos “abrir” aquelas integrais e substituir os limites de integração:
Vamos escrever a forma indefinida de cada uma das integrais com os limites de integração ao lado:
E agora é só substituir:
A gente sabe que o logaritmo natural de é simplesmente e o de é zero, então:
O segundo fator você pode resolver com uma calculadora:
E o terceiro é bem fácil de calcular:
Agora é só multiplicar tudo isso:
Pronto! Esse é o valor da integral tripla que foi pedida.
Resposta
Letra (c). .