Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x + y + z   d x d y d z

Passo 1

Vamos resolver a integral de dentro para fora, certo? Então vamos integrar primeiro x , depois y e finalmente z . Vamos lá?

Para integrar x , vamos considerar y e z como constantes, fica assim:

∫ 1 2 ∫ - 1 1 x 2 2 + x y + x z x = 0 x = 2 d y d z =

= ∫ 1 2 ∫ - 1 1 2 2 2 + 2 y + 2 z - 0 + 0 + 0 d y d z =

= ∫ 1 2 ∫ - 1 1 2 + 2 y + 2 z   d y d z

Passo 2

Para integrar em y , vamos considerar z como constante:

= ∫ 1 2 2 y + 2 y 2 2 + 2 y z y = - 1 y = 1 d z =

Muito cuidado nessa hora! Tem termos de y e de y 2 , então substitua y = 1 e y = - 1 com calma termo por termo!

= ∫ 1 2 [ 2.1 + 2.1 2 2 + 2.1 . z - ( 2 . - 1 +   2 . - 1 2 2 + 2 . - 1 . z ) ] =

∫ 1 2 [ 2 + 1 + 2 z - - 2 + 1 - 2 z   d z =

∫ 1 2 4 + 4 z   d z

Passo 3

Finalmente, integrando em z :

4 z + 4 z 2 2 z = 1 z = 2 =

= 8 + 16 2 - 4 + 4 2 =

= 8 + 8 - 4 + 2 = 16 - 6

= 10

Resposta

10

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Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,0,0 , 1 , 0,2 , 0e2,2 , 0 .
Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla. ∭ T x zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 1 ) , ( 0,1 , 1 ) e ( 0,0 , 1 )