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Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Exercício 3124567891011121314

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Passo 1

Repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em z depois em y e por último em x .

Quando vamos integrar em relação a z , consideramos x e y constantes, lembra? Fica assim então, integrando em z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 z x 2 + z y 2 + z 3 3 z = 0 z = 1 d y d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 . x 2 + 1 . y 2 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 . x 2 + 0 d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + 1 3   d y d x

Passo 2

Vamos integrar em y agora, certo? Temos que considerar x constante então:

∫ 0 1 y x 2 + y 3 3 + y 3 y = 0 y = 1 d x

= ∫ 0 1 1 . x 2 + 1 3 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 + 0 d x =

∫ 0 1 x 2 + 2 3   d x

Passo 3

Integrando em x temos:

x 3 3 + 2 x 3 x = 0 x = 1 =

= 1 3 + 2 3 - 0 + 0 =

= 3 3 = 1

Resposta

1

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Determine o volume do sólido dado. O tetraedro sólido com vértices 0,0 , 0 ,0,0 , 1 , 0,2 , 0e2,2 , 0 .
Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla. ∭ T x zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 1 ) , ( 0,1 , 1 ) e ( 0,0 , 1 )