UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integral Tripla e Integral de Linha, Questão 2
Calcule o volume do sólido delimitado por e .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes equações:
Essas equações representam cilindros de raio ao redor dos eixos e , respectivamente.
A interseção desses cilindros forma um sólido limitado por um toroide.
Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas para realizar a integração. Em coordenadas cilíndricas, as superfícies podem ser expressas como , onde é o raio e é o ângulo.
Para calcular o volume, integramos sobre o sólido delimitado pelas superfícies.
Os limites de integração para vão de a , pois o raio máximo é .
Para , integramos de a para cobrir todo o toroide.
Para , os limites são determinados pelas equações das superfícies, que são e .
Dessa forma, a integral tripla fica:
E aí? Bora lá resolver?
😉
Passo 2
Assim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:
Resolvendo a integral mais interna, temos:
Logo, a nossa integral que era tripla agora fica:
Passo 3
Resolvendo a integral mais interna agora novamente, temos:
Fazendo , temos:
Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Resolvendo a última integral, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
