Exercícios Resolvidos de Interferência de Ondas

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Enunciado

Um pulso numa corda é descrito pela função y 1 = 5 2 x - t 2 + 2   e um segundo pulso, na mesma corda, é descrito por y 2 =   -   5 2 x + t - 8 2 + 2 onde x ,   y 1 e   y 2 são dados em c m e t em segundos.

a ) Em que direção cada pulso se propaga? Calcule a velocidade de cada pulso.

b ) Determine em que instante os dois pulsos se cancelam totalmente.

c ) Determine em que ponto os pulsos sempre se cancelam.

Passo 1

a )

Para determinar a velocidade e a direção em que o pulso se propaga, podemos manipular a função y ( x , t ) dos pulsos para achar x ( y , t ) e então derivamos em relação ao tempo!

Simbora!

Para o pulso 1 , temos:

y = 5 2 x - t 2 + 2

2 x - t 2 + 2 = 5 y

2 x = 5 y - 2 + t

x = 5 y - 2 2 + t 2

∂ x ∂ t = 1 2

v 1 = 0,5 c m s

Para o pulso 2 , temos:

y = -   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 + 2 = - 5 y

2 x = - 5 y - 2 + 8 - t

x = - 5 y - 2 2 + 8 2 - t 2

∂ x ∂ t = - 1 2  

v 2 = - 0,5   c m / s

Portanto, temos que o pulso 1 se desloca para a direita, com velocidade 0,5   c m / s e o pulso 2 se desloca para a esquerda com velocidade 0,5   c m / s .

Passo 2

b )

Para que os pulsos se cancelem, temos que y 1 + y 2 = 0 , agora é só isolar o tempo para determinar o instante em que isso ocorre!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 = 5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = 2 x - t

2 t = 8

t = 4   s

Passo 3

c )

Para determinar os pontos em que os pulsos sempre se cancelam, precisamos novamente que y 1 + y 2 = 0 , mas nesse caso, precisamos determinar x . Vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item anterior!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 =   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = - 2 x + t

4 x = 8

x = 2   c m

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Resposta

a ) v 1 = 0,5   c m / s , v 2 = - 0,5   c m / s

b ) t = 4   s

c ) x = 2   c m

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