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Exercícios Resolvidos de P-Série

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Exercício 41235678910111213141516

Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 2º Estágio - 2021.2, Questão 2

Calcule o valor da seguinte série numérica:

∑ n = 0 + ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o valor da seguinte série numérica S :

S = ∑ n = 0 + ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n

E aí??? Como a gente resolve isso???

Calma, calma!! Aqui é pura manipulação algébrica e aplicação de algumas regrinhas que a gente vai apresentando à medida que desenvolvemos o cálculo, tudo bem?

Mas para iniciar, já vemos que podemos aplicar a regra da soma a qual é dada por:

∑ a n + b n = ∑ a n + ∑ b n

Dessa forma, temos:

S = ∑ n = 0 + ∞ 1 4 n + ∑ n = 0 + ∞ - 1 n 2 n

Agora vamos resolver cada um desses somatórios que compõem S .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos começar por ∑ n = 0 + ∞ 1 4 n .

Percebemos que 1 n é sempre 1 , logo:

∑ n = 0 + ∞ 1 4 n = ∑ n = 0 + ∞ 1 4 n

Analisando esse somatório, percebemos que podemos usar o teste da série geométrica, que é definida da seguinte forma:

“Se a série possui a forma ∑ n = 0 + ∞ r n então se r < 1 , então a série converge para 1 1 - r e, se r ≥ 1 a série diverge”.

Como 1 4 < 1 , então:

∑ n = 0 + ∞ 1 4 n = 1 1 - 1 4 n ∴

∑ n = 0 + ∞ 1 4 n = 4 3

Passo 3

Agora, para ∑ n = 0 + ∞ - 1 n 2 n percebemos que:

∑ n = 0 + ∞ - 1 n 2 n = ∑ n = 0 + ∞ - 1 2 n

Percebemos que o denominador continuará crescendo mais rápido que o numerador à medida que n → ∞ .

Dessa forma, a série converge para zero!!

Logo, concluímos que:

∑ n = 0 + ∞ - 1 n 2 n = 0

Passo 4

Nesse sentido, substituindo os valores encontrados nos Passos 2 e 3 no Passo 1, temos:

S = ∑ n = 0 + ∞ 1 4 n + ∑ n = 0 + ∞ - 1 n 2 n ∴

S = 4 3 + 0 ∴

S = 4 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∑ n = 0 + ∞ 1 4 n + - 1 n 2 n = 4 3

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