Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

d) ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 + 5 n 6 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma série e temos que determinar se essa série converge ou diverge!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, podemos usar as propriedades das P-Séries para solucionar esse problema...

As P-Séries são dadas genericamente por

∑ n = 1 ∞ 1 n p

E o valor de p determina se a série é convergente ou divergente...

Se p > 1 , a série é convergente.

Se p ≤ 1 , a série é divergente.

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa série é dada por

∑ n = 1 ∞ 3 n 4 + 5 n 6

Podemos separar essa série em duas, ou seja

∑ n = 1 ∞ 3 n 4 + 5 n 6 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 + ∑ n = 1 ∞ 5 n 6

Assim, se alguma delas for divergente, a série original também será divergente...

Começando pela série ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 , temos

∑ n = 1 ∞ 3 n 4 = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4

Perceba que nesse caso p = 4 , portanto, ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 é convergente!

Para ∑ n = 1 ∞ 5 n 6 , temos

∑ n = 1 ∞ 5 n 6 = 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n 6

Já aqui p = 6 , também sendo convergente.

Como ambas as séries são convergentes, a série ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 + 5 n 6 é convergente!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Convergente

Exercícios Resolvidos de P-Série

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