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Exercícios Resolvidos de P-Série

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Exercício 51234678910111213141516

Enunciado

UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

9 . Considere as afirmações a seguir:

Se as séries ∑ a n e ∑ b n divergem, então a série ∑ ( a n ⋅ b n ) diverge.

Se as séries ∑ a n e ∑ b n convergem, então ∑ a n ⋅ ∑ b n = ∑ ( a n b n ) .

Se a k ≥ 0 e lim k → ∞ ⁡ ( k 2 a k ) = 5 , então ∑ a k converge.

Se ∫ 0 ∞ f x   d x = 1 , então ∑ f ( k ) = 1 .

Elas são, respectivamente,

Escolha uma opção:

a . Falsa, Falsa, Verdadeira e Falsa.

b . Verdadeira, Verdadeira, Falsa e Falsa.

c . Falsa, Verdadeira, Falsa e Falsa.

d . Verdadeira, Falsa, Verdadeira e, Verdadeira.

e . Falsa, Verdadeira, Falsa e Verdadeira

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Temos que ver qual a afirmativa é falsa e qual afirmativa é verdadeira, para saber a afirmação é falsa, basta darmos um exemplo que vai contra o que temos na afirmação que já provamos que ela falsa.

Para mostrar que ela é verdadeira temos que ver se o que ela diz é sempre verdadeiro. Vamos avaliar cada afirmação separadamente e ver o que podemos usar para testá-la.

Passo 2

Começando com a primeira.

Se as séries ∑ a n e ∑ b n divergem, então a série ∑ ( a n ⋅ b n ) diverge.

Vamos escolhes duas séries que divergem, por exemplo

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

∑ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2

Agora vamos fazer o seguinte:

∑ ( a n ⋅ b n ) = ∑ 1 n 1 n 1 / 2

= ∑ 1 n 3 / 2

E essa série converge, já que o termo do expoente de n é maior que 1 .

Então ela é falsa.

Passo 3

Agora vamos para a segunda.

Se as séries ∑ a n e ∑ b n convergem, então ∑ a n ⋅ ∑ b n = ∑ ( a n b n ) .

Vamos pegar duas séries que convergem, por exemplo:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

∑ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90

Agora vamos fazer ∑ a n ⋅ ∑ b n , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 6 540

Agora vamos fazer ∑ ( a n b n ) , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ⋅ 1 n 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 945

Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Agora vamos para a terceira.

Se a k ≥ 0 e lim k → ∞ ⁡ ( k 2 a k ) = 5 , então ∑ a k converge.

Para testarmos se isso é verdade, vamos usar o teste de comparação do limite, que diz o seguinte:

∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos. Se

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

onde c é um número finito e c > 0 , então ambas as séries convergem ou ambas as séries

divergem.

Supondo que b n = 1 / k 2 e a n = a k , ambas são positivas e b n converge, assim:

lim k → ∞ ⁡ a k 1 k 2

= lim k → ∞ ⁡ k 2 a k

E pela afirmação temos que esse limite é igual a 5 , então como ∑ b n = ∑ 1 / k 2 converge a série ∑ a n = ∑ a k também converge.

Então a afirmação está correta.

Passo 5

Agora vamos para a quarta.

Se ∫ 0 ∞ f x   d x = 1 , então ∑ f ( k ) = 1 .

O que ela diz é que a integral de um termo geral, é igual a soma da série desse termo geral.

Para vermos se essa afirmação é verdadeira ou falsa, podemos usar que:

f x = 1 x 2

A integral dessa função é a seguinte:

∫ 1 ∞ 1 x 2   d x = - 1 x 1 ∞

= - 0 + 1 = 1

Agora vamos ver a série, temos:

∑ n = 0 ∞ 1 x 2 = π 2 6

Logo a afirmação é falsa.

Então só a terceira afirmação que está certa, logo alternativa correta é a letra a .

Resposta

a . Falsa, Falsa, Verdadeira e Falsa.

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