USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017
2)
a) Mostre que a função tem um único ponto de mínimo positivo.
b) Calcule uma aproximação para este ponto utilizando o método de Newton (calcule 3 iterações a partir de . Mostre que o método de Newton é convergente para esta escolha de )
Passo 1
Falaaa...
Nessa questão vamos calcular uma aproximação, usando o método de Newton, para o ponto de mínimo que mostramos que existe no item (a) partindo de .
Lembrando que para o método de Newton:
E pra mostrar que o método de Newton é convergente a função, a primeira e a segunda derivadas devem ser contínuas. E que a primeira derivada é diferente de zero no intervalo.
Passo 2
Vamos lá, então... Mas lembra que queremos achar o zero é da derivada de , ok?
Calculando a derivada pra gente usar no método de Newton:
Para a primeira iteração:
Passo 3
Para a segunda iteração:
Pra terceira iteração:
Passo 4
Para verificar a convergência do método, temos:
São todas contínuas.
E se analisarmos , ela é sempre positiva, pra qualquer , então é sempre diferente de zero.
Então podemos concluir que o método é convergente.