Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

Exercício 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17

Enunciado

USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017

2)

a) Mostre que a função tem um único ponto de mínimo positivo.

b) Calcule uma aproximação para este ponto utilizando o método de Newton (calcule 3 iterações a partir de . Mostre que o método de Newton é convergente para esta escolha de )

c) Sem determinar o valor da solução verifique se o valor determinado no item b dista menos que do ponto de mínimo. Justifique.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos verificar se o valor determinado no item b:

Dista menos que do ponto de mínimo.

Vamos já trazer o , que é o da iteração anterior:

Passo 2

Repara conforme vai fazendo mais iteração, a diferença entre os vai ficando menor.

Como da segunda pra terceira iteração tivemos:

Que já é menor que . Se formos calcular o a diferença vai ser menor ainda.

Então podemos concluir que, sim, o ponto encontrado na letra b dista menos que do ponto de mínimo.

Resposta

Resolução nos passos

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Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.

Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva

Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as