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Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Exercício 7123456891011121314151617

Enunciado

Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ��� x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

a Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6

f ' x = e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

g x = x - e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.850521

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.149479 > 10 - 5

f x 1 = 0.088245 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.850521

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.829751

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02077 > 10 - 5

f x 2 = 0.001508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.829751

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.829384

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000367 > 10 - 5

f x 3 = 4.6 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829384 .

Passo 2

b Intervalo 2,3

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 2.550769

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.550769 > 10 - 5

f x 1 = 1.632185 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.550769

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 2.371359

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.179411 > 10 - 5

f x 2 = 0.005908 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.371359

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000671 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.371359 .

Passo 3

b Intervalo 3,4

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.743349

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.256651 > 10 - 5

f x 1 = 0.350935 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.743349

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.72239

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02096 > 10 - 5

f x 2 = 0.004513 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.72239

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.722113

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000277 > 10 - 5

f x 3 = 8.1 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.722113 .

Passo 4

c Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.333333

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.333333 > 10 - 5

f x 1 = 0.156762 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.333333

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.408579

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.075246 > 10 - 5

f x 2 = 0.007197 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.408579

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.412382

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.003802 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.412382

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.412391

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.6 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 1.1 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Passo 5

c Intervalo e , 4

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.303012

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.696988 > 10 - 5

f x 1 = 0.503005 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.303012

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.084624

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.218387 > 10 - 5

f x 2 = 0.04998 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.084624

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.057536

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.027089 > 10 - 5

f x 3 = 0.000773 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.057536

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.057104

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000432 > 10 - 5

f x 4 = 2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.057104 .

Passo 6

d Intervalo 0,1

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.914155

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.085845 > 10 - 5

f x 1 = 0.012373 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.914155

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.910017

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.004137 > 10 - 5

f x 2 = 3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.910017

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.910008

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 1.01 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.910008 .

Passo 7

d Intervalo 3,5

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.784361

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.215639 > 10 - 5

f x 1 = 1.043379 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.784361

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.735379

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.218387 > 10 - 5

f x 2 = 0.04998 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.735379

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.733084

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.002295 > 10 - 5

f x 3 = 9.5 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.733084

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.733079

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 4.9 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 4.2 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.733079 .

Resposta

a Intervalo 1,2 : x - = 1.829384

b Intervalo 2,3 : x - = 2.371359

Intervalo 3,4 : x - = 3.722113

c Intervalo 1,2 : x - = 1.412391

Intervalo e , 4 : x - = 3.057104

d Intervalo 0,1 : x - = 0.910008

Intervalo 3,5 : x - = 3.733079

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Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as