Exercícios Resolvidos de Método de Newton-Raphson

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Enunciado

Seja f x = x e - x - e - 3 .

a Verifique que f x possui um zero no intervalo 0,1 ;

b Justifique teoricamente o comportamento da sequência x k colocada a seguir, gerada pelo método de Newton para o cálculo do zero de f x em 0,1 , com x 0 = 0.9 e precisão ε = 5 ∙ 10 - 6 .

Passo 1

a Vamos verificar pelo Teorema de Bolzano:

f 0 = - e - 3 < 0

f 1 = e 2 - 1 e 3 > 0

Como temos f 0 ∙ f 1 < 0 , então existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

-

b Repare que a sequência começa divergindo e depois passa a convergir para a raiz. Uma explicação para esse comportamento seria se f ' 0.9 ≅ 0 , explodindo o quociente f x f ' x da nossa função de iteração. Testando isso:

f x = x e - x - e - 3

f ' x = - e - x x - 1

f ' 0.9 = 0.040657

Que é um valor próximo de 0 , daí o comportamento estranho da sequência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as