UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.16
Considere uma bola de centro arbitrário, contendo um subconjunto de . Mostre que é limitado.
Passo 1
Faaaaaaala galera do RA, como é que vocês estãooo?
Nessa questão temos uma bola (não é de futebol, calma lá), que nada mais é do que um conjunto de pontos, centrada em e com raio .
Daí, é falado que essa bola contém um subconjunto dentro do .
Precisamos mostrar que esse subconjunto é limitado. Ou seja, todos os pontos dentro do conjunto estão dentro de uma bola de raio finito.
Os pontos que pertencem à bola , devem obedecer a equação:
A ideia é supormos inicialmente que não é limitado e usar a desigualdade acima para chegar em um absurdo lógico.
Vamos nessa!
Passo 2
Se não é limitado, então existem pontos e tais que a distância entre eles tende ao infinito:
Mas, se como é subconjunto de , deve valer que:
Vamos voltar para a distância entre e , para fazer aparecer as desigualdades acima podemos usar que:
Logo:
Daí, pela desigualdade triangular:
Como o sinal de negativo não vai fazer diferença dentro desse módulo, chegamos que:
Porém:
Ou seja, o que realmente encontramos foi que:
Mas, como:
Encontramos que:
Mas isso é um ABSURDO, porque supomos que o conjunto não era limitado. Assim, vimos que:
Por isso, concluímos que é limitado.
E aí, curtiram a solução galera?
Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.