UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.14
Mostre que toda bola aberta é convexa.
Isto significa que, as bolas relativas a diferentes normas em tem em comum o fato de serem convexas.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão precisamos provar que qualquer bola aberta no é convexa. Mas, vamos com calma, o que seria uma bola aberta?
É um conjunto de pontos, cuja distância em relação a um ponto fixo é menor do que um certo valor constante. Matematicamente, é o mesmo que dizer:
onde é o centro da bola e o raio. Qualquer ponto que satisfaça a equação acima pertence à bola. Tranquilo?
Dizer que essa bola é convexa significa que se ligarmos quaisquer dois pontos dentro dessa bola, a ligação estará toda dentro da bola também. Ou seja, para provarmos que a bola é convexa basta mostrarmos que para quaisquer dois pontos , o segmento de reta que os une também pertence a .
Sacaram a ideia?
Então, vamos escolher pontos genéricos e usar a relação que define o pertencimento de um ponto a para demonstrar o que foi pedido.
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Vamos considerar dois pontos que pertencem a :
sendo o centro da bola.
Então, um ponto genérico no segmento de reta que une e pode ser escrito como:
Para mostrar que a bola é convexa esse ponto precisa pertencer a . Usando a relação que define esse pertencimento, precisamos ter:
É o que vamos tentar provar!
Como:
Podemos reescrever a equação como:
Pela desigualdade triangular, sabemos que:
Como , podemos tirar do módulo tanto como . Daí:
Como , é verdade que:
Logo:
Então:
Como o lado esquerdo da inequação acima é justamente:
Concluímos que:
Portanto, qualquer ponto genérico no segmento que une dois pontos quaisquer da bola também pertence à bola.
Isso nos faz concluir que a bola é convexa.
Sacaram?
É isso gente, muito obrigado pela atenção!
Até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.