UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.15
Verifique que o conjunto não é convexo.
Passo 1
Ooii gente, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos o conjunto dado por todo o espaço exceto pelo vetor nulo, ou seja, pela origem do espaço.
Precisamos verificar que esse espaço não é convexo.
Mas, vocês lembram o que significa um conjunto ser convexo?
Se para quaisquer dois pontos de um conjunto, o segmento de reta que os une possuir apenas pontos dentro do próprio conjunto, dizemos que ele é convexo.
Então, para provar que isso não ocorre no espaço basta mostrarmos que existe um par de pontos cujo segmento não esteja totalmente dentro do espaço.
Vamos nessa.
Passo 2
Imagine que consideremos os pontos:
Esses pontos pertencem ao .
Vamos verificar se o segmento de reta que os une possui todos os pontos pertencentes a esse espaço.
O ponto pertencente a esse segmento de reta pode ser dado por:
Para vamos ter:
Opaaa! Como está no segmento de reta que une e , para o espaço em questão ser convexo, deveria pertencer a esse espaço. Mas, vimos que é o vetor nulo.
Logo, não pertence a e dizemos que esse conjunto é não convexo.
Sacaram a ideia?
É isso aí gente, espero que vocês tenham curtido a solução. Até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.