Verifique que o conjunto R^n \ {0} não é convexo.

Passo 1

Ooii gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos o conjunto dado por todo o espaço R n exceto pelo vetor nulo, ou seja, pela origem do espaço.

Precisamos verificar que esse espaço não é convexo.

Mas, vocês lembram o que significa um conjunto ser convexo?

Se para quaisquer dois pontos de um conjunto, o segmento de reta que os une possuir apenas pontos dentro do próprio conjunto, dizemos que ele é convexo.

Então, para provar que isso não ocorre no espaço R n \ { 0 } basta mostrarmos que existe um par de pontos cujo segmento não esteja totalmente dentro do espaço.

Vamos nessa.

Passo 2

Imagine que consideremos os pontos:

x = ( 1,0 , 0 ,   …     ,   0 )

y = ( - 1 , 0 , 0 ,   …     ,   0 )

Esses pontos pertencem ao R n \ { 0 } .

Vamos verificar se o segmento de reta que os une possui todos os pontos pertencentes a esse espaço.

O ponto z pertencente a esse segmento de reta pode ser dado por:

z = t x + 1 - t y ,       t ∈ [ 0,1 ]

Para t = 0,5 vamos ter:

z = 0,5 ,   0 ,   0 ,   …     ,   0 + ( - 0,5 ,   0 ,   0 ,   …     ,   0 )

z = ( 0,0 , 0 ,   …     ,   0 )

Opaaa! Como z está no segmento de reta que une x e y , para o espaço em questão ser convexo, z deveria pertencer a esse espaço. Mas, vimos que z é o vetor nulo.

Logo, z não pertence a R n   \ { 0 } e dizemos que esse conjunto é não convexo.

Sacaram a ideia?

É isso aí gente, espero que vocês tenham curtido a solução. Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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