UFSC – Pré Cálculo – Exame – Questão 16
Qual é o número de soluções da equação
No intervalo de ?
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!
O problema pediu para encontrarmos o número de soluções possíveis para essa equação aqui
Mas calma! O pulo do gato aqui é usar (e abusar) das identidades trigonométricas! Quando temos uma equação em seno e cosseno o que você precisa ter em mente é: trocar tudo ou para SÓ seno ou SÓ cosseno! Os dois na mesma equação dá ruim! E com o mesmo argumento!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Então nossa primeira missão é encontrar uma identidade trigonométrica pra transformar tudo ou em seno, ou em cosseno. Vamos olhar com carinho nossa equação de novo
Aquele argumento no cosseno me lembrou o cosseno da soma de . Lembra que precisamos arrumar de forma que os argumentos fiquem iguais. Como não podemos transformar em de forma fácil, vamos trabalhar pra transformar o cosseno!
Como recordar é viver, vamos de cosseno da soma de arcos!
Como temos ,
E é por essa identidade que vamos substituir aquele
E agora? Vamos usar a relação fundamental!
Aí nossa equação fica assim
E passando tudo para um mesmo lado e juntando os termos semelhantes:
Ficamos finalmente com uma equação só em seno!
Mas e agora?
Passo 3
Agora fazer uma mudança de variáveis! Vamos chamar de nosso seno:
Assim nossa equação com seno fica só em :
Temos então uma equação de segunda ordem! Bháskara!
aplicando a fórmula temos
Vamos encontrar duas raízes:
Agora precisamos voltar para !
Passo 4
Nosso era:
E encontramos dois valores para . Então vamos ver em quantos ângulos diferentes e dentro de um período esses valores ocorrem! Essas serão as soluções!
Vamos começar com :
Dentro de um período , esse valor se repente em duas ocasiões:
Então aqui já temos duas soluções.
Agora vamos ver para :
Esse valor se repete apenas 1x no período!
Então ao todo temos três soluções para nossa equação!
E a alternativa que diz isso é
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?