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Exercícios Resolvidos de Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos

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Enunciado

Se tan ⁡ ( a + b ) = 2 3   e tan ⁡ ( 2 a - b ) = 1 3 , calcule tan ⁡ ( 6 a ) .

Passo 1

Primeiro, vamos ver o que queremos encontrar. Pela fórmula da tangente do arco duplo:

tan ⁡ ( 6 a ) = tan ⁡ ( 3 a + 3 a ) = 2 tan ⁡ ( 3 a ) 1 - tan ⁡ ( 3 a ) 2

E agora:

tan ⁡ ( 3 a ) = tan ⁡ 2 a + a = tan ⁡ ( a ) + tan ⁡ ( 2 a ) 1 - tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( 2 a )

Show! Então se encontrarmos a fórmula da tan ⁡ ( 3 a ) resolvemos o problema! Tá vendo que nas tangentes que ele deu aparecem tan ⁡ ( 2 a ) e tan ⁡ ( a ) ? Será coincidência? Eu acho que não!

Passo 2

Vamos abrir as fórmulas que ele deu.

Para a primeira:

tan ⁡ ( a + b ) = 2 3

tan ⁡ ( a ) + tan ⁡ ( b ) 1 - tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( b ) = 2 3

Vamos multiplicar em cruz:

3 tan ⁡ ( a ) + 3 tan ⁡ ( b ) = 2 - 2 tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( b )

E isolar tan ⁡ ( b ) :

tan ⁡ ( b ) = 2 - 3 tan ⁡ ( a ) 3 + 2 tan ⁡ ( a )

Vamos fazer o mesmo para a segunda:

tan ⁡ ( 2 a - b ) = 1 3

tan ⁡ ( 2 a ) - tan ⁡ ( b ) 1 + tan ⁡ ( 2 a ) tan ⁡ ( b ) = 1 3

Vamos multiplicar em cruz:

3 tan ⁡ ( 2 a ) - 3 tan ⁡ ( b ) = 1 + tan ⁡ ( 2 a ) tan ⁡ ( b )

E isolar tan ⁡ ( b ) :

tan ⁡ ( b ) = 3 tan ⁡ ( 2 a ) - 1 3 + tan ⁡ ( 2 a )

Passo 3

Beleza, agora vamos igualar o que achamos pra tan ⁡ ( b ) nos dois casos:

2 - 3 tan ⁡ ( a ) 3 + 2 tan ⁡ ( a ) = 3 tan ⁡ ( 2 a ) - 1 3 + tan ⁡ ( 2 a )

E multiplicar em cruz:

6 + 2 tan ⁡ ( 2 a ) - 9 tan ⁡ ( a ) - 3 tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( 2 a ) = 9 tan ⁡ ( 2 a ) - 3 + 6 tan ⁡ ( 2 a ) tan ⁡ ( a ) - 2 tan ⁡ ( a )

Agora vamos agrupar os termos iguais:

9 - 9 tan ⁡ ( 2 a ) tan ⁡ ( a ) = 7 tan ⁡ ( 2 a ) + 7 tan ⁡ ( a )

Agora isolar o 7 e o 9:

9 1 - tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( 2 a ) = 7 tan ⁡ ( a ) + tan ⁡ ( 2 a )

9 7 = tan ⁡ ( a ) + tan ⁡ ( 2 a ) 1 - tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( 2 a )

Opa, opa, opa. Tá aparecendo um cara conhecido aí! Lembra da tan ⁡ ( 3 a ) ?

tan ⁡ ( 3 a ) = tan ⁡ 2 a + a = tan ⁡ ( a ) + tan ⁡ ( 2 a ) 1 - tan ⁡ ( a ) tan ⁡ ( 2 a )

É exatamente a mesma coisa! Então podemos dizer que:

tan ⁡ ( 3 a ) = 9 7

Passo 4

Agora que temos tan ⁡ ( 3 a ) , conseguimos achar tan ⁡ ( 6 a ) . Só substituir:

tan ⁡ ( 6 a ) = tan ⁡ ( 3 a + 3 a ) = 2 tan ⁡ ( 3 a ) 1 - tan ⁡ ( 3 a ) 2

tan ⁡ ( 6 a ) = 2 × 9 7 1 - 9 7 2

tan ⁡ ( 6 a ) = 18 7 1 - 81 49

tan ⁡ ( 6 a ) = 18 7 49 49 - 81 49 = 18 7 - 32 49

tan ⁡ ( 6 a ) = 18 7 × - 49 32

tan ⁡ ( 6 a ) = - 63 16

Aí você pode pensar: “Nossa, mas eu nunca iria pensar nisso na hora da prova!”. Cara, soma e subtração de arcos não tem jeito, você sempre vai ter que abrir as fórmulas pra chegar no que você quer. Da trabalho, mas pelo menos da certo. Hahaha

Resposta

tan ⁡ ( 6 a ) = - 63 16

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