a) Calcule a série de Fourier da função
b) Encontre a soma da série
Utilizando o item
Passo 1
Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período . Portanto,
Assim, a série é dada por:
Passo 2
Já dá pra ter uma ideia que é uma função dente de serra né... ok, vamos as contas agora!
E qual a paridade da função?
Como f é par
Passo 3
Para calcular os coeficientes da Série de Fourier, lembremos que a função é par. Ou seja, só sobram os termos em cosseno.
Assim,
Fazendo a mudança de variável
Passo 4
Vamos agora deduzir a integral de
Pela integral por partes temos:
Tomando
Substituindo:
Como vale 1 se n for par e -1 se n for ímpar temos:
Passo 5
Então, nós obtemos que
Passo 6
Para encontrar o valor dessa série façamos
Logo, isolando o somatório teremos: