UFMG, Sem campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021, Questão 21
Considere a igualdade
Para quais valores de ela é válida? Porquê?
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que analisar a seguinte igualdade
e dizer para quais valores de ela é verdade! Para isso, vamos lembrar do teorema de convergência das séries de Fourier, temos que
“Seja uma função periódica seccionalmente contínua em , então a série de Fourier converge para todo real e converge da seguinte forma
se é contínua em
se é descontínua em ”
Apenas analisando este teorema e as propriedades da função , podemos verificar para quais valores a igualdade é verdadeira! Bora lá!
Passo 2
Note que a função é par, e que estamos calculando a série de fourier para (compare o lado esquerdo da igualdade no enunciado com o teorema de Fourier). Se temos que o lado esquerdo é a série de Fourier da função módulo de . Em que
e
note que devido a paridade da função, podemos garantir que a igualdade é válida para todo , já que a função é contínua para todo valor de . Então, vamos verificar se o lado esquerdo é a série de Fourier de módulo de . Vem comigo!
Passo 3
Usando as fórmulas para os coeficientes como
e
em que usei , e como é uma função par, temos que . Para resolver estas integrações vamos lembrar que para e para , portanto, podemos escrever a nossa integração como
essas integrais resultam em
Para a outra integral vamos ter que utilizar integração por partes! Vamos fazer isso!
Passo 4
Usando a paridade da função, podemos escrever que
já que selecionamos apenas o intervalo de , temos que , e portanto, usando a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinômio, Trigonometria, Exponencial) para escolher quem será quem em nossa integral por partes, temos que
e
assim como
e
de forma que a integração por parte se torna
Avaliando os limites no primeiro termo obtemos zero, restando a seguinte integral
Identificando então o resultado como
Se tivermos ímpar, temos que e para par, temos que , essa alternância de valores pode ser representada como , portanto
Maravilha! Usando os coeficientes no teorema de convergência de Fourier, obtemos que
Sendo assim, temos que a igualdade é válida para todo valor de . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
A igualdade é válida para todo valor de .