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Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Teste 12: Seja a função

f x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 ≤ x ≤ π   2 x 2 + x - 1 ,     - π ≤ x ≤ 0

A soma S x da série de Fourier de f no intervalo - π ,   π é:

  1. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 ,                                   x = ± π
  2. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 ≤ x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 2 π 2 - π ,                                   x = ± π  
  3. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x ≤ π 2 x 2 + x - 1 ,     - π ≤ x < 0 0 ,                                               x = 0  
  4. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 - π ,                                   x = ± π

Passo 1

Pois bem, de acordo com a teoria, a série de Fourier é:

  • Igual à função f onde f é contínua
  • Igual à média dos valores de descontinuidade, em pontos de descontinuidades por pulos.

Então, bora averiguar !

Passo 2

Primeiro perceba que nos pontos do interior dos intervalos, temos funções continuas:

2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π   2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0

Então a soma de Fourier é igual a isso aí nesses pontos. Mas ainda falta analisar os pontos de descontinuidade!

Passo 3

Os pontos onde podem ter possíveis descontinuidades são:

0 ,   π ,   - π

Vamos analisar o 0 , priemeiro:

f x = 2 x 2 - x + 1   2 x 2 + x - 1     →           f 0 = 0 - 0 + 1   0 + 0 - 1

A parte de cima, por estar se tratando de uma função a direita do 0 ( 0 ≤ x ≤ π ), vamos chamar de:

f + 0 = 1

Enquanto que o de baixo, por ter vindo de uma função que estar a esquerda do 0 ( - π ≤ x ≤ 0 ):

f - 0 = - 1

Como são valores diferentes temos uma descontinuidade por pulos em x = 0 , e o resultada da série de Fourier então é a média:

S 0 = f + 0 + f - 0 2 = 1 - 1 2 = 0

Para os pontos π e - π , vamos fazer análises semelhantes!

Passo 4

Vamos começar com π então...

f x = 2 x 2 - x + 1   2 x 2 + x - 1     →           f π = 2 π 2 - π + 1   2 π 2 + π - 1

São dois valores diferentes, então...

S π = 2 π 2 - π + 1 + 2 π 2 + π - 1 2 =

2 π 2

E para o - π ...

f x = 2 x 2 - x + 1   2 x 2 + x - 1     →           f - π = 2 π 2 + π + 1   2 π 2 - π - 1

Como é basicamente a mesma coisa, vamos encontrar também que...

S - π = 2 π 2

Logo a resposta correta para este problema é a letra...

a )     S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 ,                                   x = ± π

Resposta

a )     S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 ,                                   x = ± π

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