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Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

UFMG, Sem campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021, Questão 20c

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( c ) Esboce o gráfico de S f ( x ) no intervalo [ - 3 L , 3 L ]

Passo 1

Eaew, belezinha?

Este problema pede para analisarmos as séries de Fourier calculadas em outros exercícios, e analisarmos porquê as funções respeitam o teorema de convergência das séries de Fourier, nesta alternativa em particular, precisamos esboçar os gráficos de S f ( x ) , a série de Fourier, as funções são as seguintes

15 .   a )   f ( x ) = x ,       - L ≤ x ≤ L ;

15 .   c )   f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

15 .   h )   f ( x ) = e x ,         - L ≤ x ≤ L

16 .   a )   f ( x ) = 1 ,   | x | ≤ π / 2 e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   b )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < | x | ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   c )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < x ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

Note que as questões acima não batem com as indicadas no enunciado, mas é porque aparentemente a professora cometeu um erro de digitação, a questão 14 na verdade é uma EDP para ser resolvida e não tem h ) alternativas. O esboço do gráfico destas séries segue um padrão bastante simples de replicar, vamos partir dos gráficos das funções estendidas para o intervalo [ - 3 L , 3 L ] e então esboçar o resultado tendo em vista o teorema de convergência das séries de Fourier! Bora lá!

Passo 2

O gráfico da função 15 .   a ) estendida para o intervalo [ - 3 L , 3 L ] é tal que

note que usei L = 1 simplesmente para realizar o plot, você poderia escolher qualquer valor! Mas esse é o plot de f ( x ) , como seria o esboço de S f ( x ) ? O formato desta série é tal que

S f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) )

esta série tem um padrão oscilatório devido às funções trigonométricas, e além disso, ela converge para a função nos pontos em que f ( x ) é contínua e converge para

S f ( x ) = f ( x + ) + f ( x - ) 2

nas descontinuidades! Ou seja, ao se aproximar dos pontos em que temos o salto, o valor de S f ( x ) se afasta um pouco da função, mas mantendo um formato oscilatório! Esse padrão é tal que

esse é o padrão no intervalo [ - L , L ] , note que para a extensão, isso deve se repetir em cada uma das seções da função e passar pelo valor médio nas desigualdades, ou seja, obtemos algo como

A ideia é a mesma para todas as outras! Vou apenas colocar elas nos próximo passo! Saca só!

Passo 3

Para a função 15 .   c ) temos

Para a função 15 .   h )

Para a função 16 .   a )

Para a função 16 .   b )

Para a função 16 .   c )

Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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