Teste 13: seja uma função ímpar, por partes, com e cujo gráfico no intervalo está esboçado a seguir:

Sendo a soma da sua série de Fourier, analise as afirmações a seguir:

1. para todo
2. para todo
3. para todo
4. para todo

Podemos afirmar que:

1. Apenas e são verdadeiras.
2. Apenas e são verdadeiras.
3. Apenas e são verdadeiras.
4. Apenas e são verdadeiras.

Primeiro a afirmação .

Ora, toda vez que temos um pertencente aos inteiros em temos de um número par, por exemplo:

Quem é ?

SIM! Como a função é descontínua nesse ponto, será a média dos valores da função nesse ponto. Como temos pela esquerda e pela direta , a soma de Fourier então é...

Para os também será , pois é já o de pela direita é menos :

Como a função é periódica, em todo par, de fato, teremos . Então a afirmação é falsa.

Ora, não! Sabe o porquê? Veja aqui então:

É de fato a caracterização de uma função periódica de período . Só tem um probleminha: A nossa função além de ser ímpar ela é de período :

Por isso que no desenho ela repete o padrão a cada valores de , então o correto seria dizer que:

Ou ainda, como ela é uma extensão ímpar (o de baixo é o inverso do de cima):

Essa terceira é verdadeira!

já que estamos falando de um intervalo aberto onde a função é totalmente contínua pelo teorema de Fourier essas funções devem ser iguais.

Por último, vamos analisar a :

para todo .

Ora, sabemos que com relação aos números pares isso é verdade, pois analisamos lá no passo 2. Como os números inteiros podem ser divididos em números pares e ímpares:

Resta saber os resultados dos ímpares:

Veja na figura que em todos os termos ímpares como , , etc. a função é . Como quando a função é contínua, então de fato os termos ímpares são . Portanto a alternativa é verdadeira!