UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, P1 - 2022.2, Questão 1d
Considere a função definida no intervalo .
Use o resultado do item para mostrar que
Justifique usando o teorema de Fourier.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos a função
na alternativa , obtivemos a série de fourier em cossenos como
precisamos usar esse resultado para mostrar que
e justificar através do Teorema de Fourier! Vamos fazer isso então!
Passo 2
Note que podemos obter a série infinita que queremos demonstrar se fizermos , nestas condições, temos que
usando que , e isolando a nossa série temos que
como queríamos demonstrar! Mas como justificamos isso com o Teorema de Fourier? O Teorema diz que se temos uma função periódica seccionalmente contínua a série
converge para a nossa função! Como a série de fourier que calculamos é a série da extensão par de período da função , e como a mesma é seccionalmente contínua, podemos garantir que o resultado acima é válido! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos!