UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 28b
Suponha que é uma função contínua com derivada contínua por partes.
Se , sob quais condições coincide com sua série de Fourier em senos para todo satisfazendo
Passo 1
E aí gente bonita, como vocês estão?
Nessa questão temos uma função que é:
- Contínua;
- Possui a derivada contínua por partes;
Sobre essa função, precisamos saber quais as condições para que coincida com a sua série de Fourier em senos em todo
E agora Maria e José? O que fazemos?
Muita calma nessa hora haha! Aqui, estamos falando de duas coisas:
- possui série de Fourier apenas em senos
- converge para a sua série de Fourier
Então, vamos analisar quais as condições pra cada uma dessas afirmações serem verdadeiras e assim concluímos com as condições para coincidir com a sua série de Fourier.
Beleza? Vamo nessa!!
Passo 2
Primeiramente, pra que uma função possua série de Fourier, é necessário que:
- seja periódica;
- seja integrável
Pelo enunciado, nada foi falado sobre ser periódica. Assim, essa é a primeira condição que se faz necessária. Mas, é importantíssimo a gente perceber que no enunciado, o domínio de foi definido apenas em:
Precisamos que seja periódica nos reais com período .
Já sobre integrável não precisamos nos preocupar, pois o enunciado fala que é contínua em . E, pelo teorema fundamental do cálculo toda função contínua é integrável.
Mas, para que, além de possui série de Fourier, essa série seja apenas em senos, é necessário que seja uma função ímpar. Dessa forma, ela consegue zerar os coeficientes que multiplicam o cosseno na série de Fourier.
Portanto, dessa primeira etapa tiramos que a condição necessária é:
periódica nos reais com período
seja ímpar
Massa! Vamos para o próximo passo!
Passo 3
Agora vamos analisar as condições para que consiga convergir para a sua série de Fourier em cada no intervalo .
Vamos ter que chamar o querido Teorema de Fourier. Ele vai nos dizer que:
“Suponhamos que seja uma função periódica, de período , e seccionalmente contínua em Então, em todo ponto onde possui derivadas laterais finitas, sua série de Fourier é convergente.”
Fica tranquilo, vamo traduzir juntos o que está sendo dito nesse teorema.
Basicamente, se atender às seguintes hipóteses:
- periódica, de período ;
- seccionalmente contínua em .
- Derivadas laterais finitas em um dado ponto
Resultado: A série de Fourier de é convergente em
Entendeu?
Sobre a primeira condição, já comentamos ela no passo anterior.
Sobre a segunda condição, temos que pelo enunciado que é contínua, então ela com certeza também é seccionalmente contínua.
Sobre a terceira condição, é dito que possui derivada contínua por partes. Isso implica que todos os pontos possuem derivadas laterais finitas,
Assim, concluímos que as únicas condições que devemos impor à para que ela coincida com sua série de Fourier em senos é que:
periódica nos reais com período
seja ímpar
Prontinho! Valeu pela atenção e até a próxima galera 😊
Resposta
periódica nos reais com período
seja ímpar