A duração ( Y ) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

f y = 2 y θ . e - y 2 θ     ,     o n d e   y > 0   e   θ > 0

  1. Encontre a densidade de Z = 4 Y 2 .
  2. Calcule P 2 ≤ Z ≤ 4 .

Passo 1

(I)

Vamos usar os métodos que aprendemos pra esses casos.

Sabemos que:

f y = 2 y θ . e - y 2 θ

E que Z = 4 Y ² .

Primeira coisa, inverter isso aí...

Y 2 = Z 4

Y = Z 2

Passo 2

Agora calculamos d y d z

d y d z = d z 1 2 2 d z

= z - 1 2 4

= 1 4 z

Passo 3

Pra terminar, usamos nosso método do jacobiano que diz..

g z = f y . d y d z

g ( z ) é a função de densidade de Z .

g z = 2 × z 2 θ . e ( - z 2 ) 2 θ . 1 4 z

  g z = 1 4 θ . e - z 4 θ

Passo 4

(II)

Vamos calcular a probabilidade pedida.

P 2 < Z < 4 = ∫ 2 4 1 4 θ . e - z 4 θ   d z

= 1 4 θ . e - 4 z θ - 1 4 θ 2 4

= - e - z 4 θ 2 4

= - e - 4 4 θ - - e - 2 4 θ

= - e - 1 θ + e - 1 2 θ

Resposta

a   g z = 1 4 θ . e - z 4 θ

b   - e - 1 θ + e - 1 2 θ

Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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