Seja X uma v.a. contínua com densidade normal de média μ = 0 e variância σ 2 > 0 . Determine a densidade de Y = X 2 2 - 2 .

Passo 1

Bom, nosso primeiro passo é se perguntar: qual é a função de probabilidade desta questão? Sabemos que ela atende uma distribuição normal, pois já foi informado no enunciado da questão. Portanto,

f x = 1 σ 2 π e - 1 2 x - μ σ 2

Mas não só isso, sabemos também que a média é μ = 0 . Portanto,

f x = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2

Pronto. Esta é a nossa função!

Agora, precisamos fazer uma transformação de variáveis aleatórias contínuas. E para isto, vamos utilizar o método do jacobiano, que nos diz que:

g y = f x ⋅ d x d y

Sendo g y a função probabilidade que desejamos encontrar. Ah! Importante ressaltar que densidade e função probabilidade consiste na mesma coisa!

Passo 2

Vamos então utilizar agora o método do jacobiano. Precisamos determinar quem é esse d x / d y .

Para isto, vamos relembrar qual é a transformação que queremos fazer:

y = x 2 2 - 2

Agora, precisamos escrever X como uma função de Y . Isto é, vamos isolar o termo X em um dos membros. Portanto:

y + 2 = x 2 2

x 2 = 2 y + 4

x = 2 y + 4

Agora sim. Vamos derivar esta nossa função! Aplicando a regra da cadeia (derivada da função mais de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro), temos:

d x d y = 2 y + 4 '

d x d y = 1 2 2 y + 4 ⋅ 2 y - 4 '

d x d y = 1 2 2 y + 4 ⋅ 2

d x d y = 1 2 y + 4

Pronto, a nossa função g y é então:

g y = f x ⋅ d x d y

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

Como d x / d y é sempre positivo, pois estamos dentro de uma raiz quadrada (que é sempre positiva), podemos tirar o módulo. Portanto,

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

E paramos por aqui?

Passo 3

Agora é o detalhe para finalizarmos a questão com chave de ouro. Vamos relembrar a nossa g y que obtivemos:

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 x σ 2 ⋅ 1 2 y + 4

Opa, olhando claramente, mais especial na nossa exponencial. Não é que temos um x ali no meio de penetra? Temos que tomar cuidado para que isto não ocorra. Precisamos substituir este x pelo respectivo em y . Isto é, x = 2 y - 4 . Portanto, a nossa verdadeira função g y é:

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 2 y - 4 σ 2 ⋅ 1 2 y - 4

Resposta

g y = 1 σ ⋅ 2 π e - 1 2 2 y - 4 σ 2 ⋅ 1 2 y - 4

Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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