Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – P2
Seja uma v.a. contínua com densidade normal de média e variância . Determine a densidade de .
Passo 1
Bom, nosso primeiro passo é se perguntar: qual é a função de probabilidade desta questão? Sabemos que ela atende uma distribuição normal, pois já foi informado no enunciado da questão. Portanto,
Mas não só isso, sabemos também que a média é . Portanto,
Pronto. Esta é a nossa função!
Agora, precisamos fazer uma transformação de variáveis aleatórias contínuas. E para isto, vamos utilizar o método do jacobiano, que nos diz que:
Sendo a função probabilidade que desejamos encontrar. Ah! Importante ressaltar que densidade e função probabilidade consiste na mesma coisa!
Passo 2
Vamos então utilizar agora o método do jacobiano. Precisamos determinar quem é esse .
Para isto, vamos relembrar qual é a transformação que queremos fazer:
Agora, precisamos escrever como uma função de . Isto é, vamos isolar o termo em um dos membros. Portanto:
Agora sim. Vamos derivar esta nossa função! Aplicando a regra da cadeia (derivada da função mais de fora aplicada a de dentro vezes a derivada da função de dentro), temos:
Pronto, a nossa função é então:
Como é sempre positivo, pois estamos dentro de uma raiz quadrada (que é sempre positiva), podemos tirar o módulo. Portanto,
E paramos por aqui?
Passo 3
Agora é o detalhe para finalizarmos a questão com chave de ouro. Vamos relembrar a nossa que obtivemos:
Opa, olhando claramente, mais especial na nossa exponencial. Não é que temos um ali no meio de penetra? Temos que tomar cuidado para que isto não ocorra. Precisamos substituir este pelo respectivo em . Isto é, . Portanto, a nossa verdadeira função é: