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Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Exercício 201234567891011121314151617181921222324

Enunciado

Transformação de Variáveis

A duração ( X ) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir:

f x = 2 x θ . e - x 2 θ     ,     o n d e   x > 0   e   θ   c o n s t a n t e

  1. Deduza a densidade da v.a. Y = 3 2 X ² .
  2. Ache a função de distribuição ou função acumulada.

Passo 1

(a)

Temos que:

f x = 2 x θ . e - x 2 θ

E que Y = 3 2 X ² .

Vamos usar o método do jacobiano pra resolver essa!

Passo 2

Primeiro vamos inverter essa parada.

Y = 3 2 X 2

X = 2 3 . Y 1 2

Passo 3

Agora calculamos d x d y .

d x d y = 1 2 . 2 3 . 1 y

Passo 4

Pra finalizar, fazemos:

g y = f x . d x d y

g y = 2 2 3 . y 1 2 θ . e - - 2 3 . y 1 2 2 θ . 1 2 . 2 3 . 1 y

Eitaaa, haha feião.

g y = 2 2 y 3 θ . e - 2 y 3 θ . 1 2 . 2 3 . 1 y

g y = 2 3 θ . e - 2 y 3 θ

Isso é uma distribuição exponencial com λ = 2 3 θ .

Passo 5

(b)

Pra calcularmos a função de distribuição acumulada, vamos integrar a função de densidade.

∫ 0 y 2 3 θ . e - 2 y 3 θ   d y

Vamos fazer uma substituição aqui..

u = - 2 y 3 θ

d u = - 2 3 θ d y

Com isso:

= - ∫ 0 - 2 y 3 θ e u   d u

= - e u 0 - 2 y 3 θ

= - e - 2 y 3 θ + e 0

= 1 - e - 2 y 3 θ

Podemos concluir então que:

G y = 1 - e - 2 y 3 θ     ,     s e   y > 0 0     ,                                               s e   y < 0

Resposta

a   g y = 2 3 θ . e - 2 y 3 θ

b   G y = 1 - e - 2 y 3 θ     ,     s e   y > 0 0     ,                                               s e   y < 0

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