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Exercícios Resolvidos de Transformação de V.A. Contínuas

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Enunciado

Variável Aleatória Contínua

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro, esta pessoa viaja entre 60 e 140   k m por dia. A distância (em k m ) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidades:

f x = x - 25 3000     ,     s e   60 ≤ x ≤ 90 155 - x 4000     ,     s e   90 ≤ x ≤ 140

Existem duas opções de diárias de aluguel:

  1. Opção 1: R $ 80,00 + R $ 0,35 por k m rodado;
  2. Opção 2: R $ 100,00 se rodar até 120 k m e R $ 130,00 se rodar mais de 120 k m num dia.

Ache os valores esperados dos custos das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa em média?

Passo 1

Vamos fazer opção por opção... primeiro a opção 1 .

Qual seria a fórmula pro custo dela?

C 1 = 80 + 0,35 . X

Onde x é o número de k m rodados.

Passo 2

A gente quer calcular o valor esperado para o custo que nada mais é que E C 1 .

E C 1 = E 80 + 0,35 . X

Aplicando a propriedade da esperança...

E C 1 = 80 + 0,35 . E X

Então precisamos calcular primeiro o valor esperado de k m rodados, E X .

Passo 3

A gente tem a função densidade da distância, pra calcular a esperança é só usar a fórmula:

E X = ∫ x . f x   d x

Nesse caso:

E X = ∫ 60 90 x . x - 25 3000   d x + ∫ 90 140 x . 155 - x 4000   d x

= 1 3000 ∫ 60 90 x ² - 25 x d x + 1 4000 ∫ 90 140 155 x - x 2   d x  

Passo 4

Agora é resolver integral...

= 1 3000 . x 3 3 - 25 x 2 2 60 90 + 1 4000 . 155 x 2 2 - x 3 3 90 140

= 1 3000 90 3 3 - 25 2 . 90 2 - 60 3 3 - 25 2 . 60 2 + 1 4000 155 2 . 140 2 - 140 3 3 - 155 2 . 90 2 - 90 3 3

= 1 3000 141750 - 27000 + 1 4000 604333,33 - 384750

≅ 93,15

Passo 5

Sabendo que E X = 93,15 ...

E C 1 = 80 + 0,35 × 93,15

= 112,6

Esse é o custo esperado para a opção 1 .

Passo 6

Agora para a opção 2 vamos pensar um pouco diferente... pois não temos uma função que caracterize essa opção. O que a gente tem é que essa opção tem duas possibilidades, ou custa 100 ou 130 , dependendo da distância rodada...

Podemos dizer então que a variável C 2 que representa esse custo da segunda opção é uma v.a. discreta que pode assumir dois valores: 100 ou 130 .

Pra gente calcular a esperança dessa variável então nós temos que multiplicar os seus valores possíveis pela probabilidade da variável assumir cada um desses valores, entende o que eu digo? Na conta vai ficar mais claro.

Passo 7

Bom, vamos começar calculando a probabilidade do custo ser de 100 reais, pra isso basta calcular a probabilidade da pessoa rodar no máximo até 120 k m .

P X ≤ 120 =   ?

Tendo a função de densidade, é só ir integrar...

P X ≤ 120 = ∫ 0 120 f x   d x

Que nesse caso fica assim...

= ∫ 60 90 x - 25 3000   d x + ∫ 90 120 155 - x 4000   d x

Passo 8

Só conta..

= 1 3000 . x 2 2 - 25 x 60 90 + 1 4000 . 155 x - x 2 2 90 120

= 1 3000 . 90 2 2 - 25 × 90 - 60 2 2 - 25 × 60 + 1 4000 155 × 120 - 120 2 2 - 155 × 90 - 90 2 2

= 1 3000 . 1800 - 300 - 1 4000 . 11400 - 9900

= 0,875

P X ≤ 120 = 0,875

Passo 9

Agora a probabilidade do custo ser de 130 , vamos calcular a probabilidade da distância ser maior que 120 k m .

Bom, não precisamos fazer aquela conta toda de novo. Concorda que a chance da pessoa percorrer mais que 120 k m é igual a 1 menos a chance dela percorrer menos?

P X > 120 = 1 - P X ≤ 120

P X > 120 = 1 - 0,875

= 0,125

Passo 10

Já temos os dois valores possíveis pro custo C 2 : 100 e 130 , e já temos suas respectivas probabilidades: 0,875 e 0,125 . Já podemos calcular E ( C 2 ) .

E C 2 = 100 × 0,875 + 130 × 0,125

= 103,75

Passo 11

Analisando os dois custos a gente vê que o valor esperado para o C 2 é menor do que pro C 1 .

E C 2 < E C 1

Então concluímos que a opção 2 é a mais econômica.

Resposta

O p ç ã o   2   é   a   m a i s   e c o n ô m i c a .

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