Considere um satélite artificial em órbita circular em torno da Terra. Diga como as seguintes propriedades do satélite variam em função do raio de sua órbita:

a) módulo da velocidade;

b) energia cinética;

c) momento angular;

d) período.

Na letra (a), queremos sobre o módulo da velocidade.

Para achar isso, podemos relacionar a força gravitacional com a força centrípeta:

Essas forças tem as seguintes expressões:

Igualando as duas, temos:

Cortando o e a massa do corpo :

Ahh, encontramos a expressão relacionando a velocidade com o raio .

Podemos evidenciar ainda mais:

Como é um termo constante, temos que a velocidade é proporcional a:

Na letra (b), queremos como a energia cinética varia em função de .

Inicialmente, nossa cabeça pode até ficar tentando achar alguma relação elaborada do zero...

Porém, dá uma olhada aqui. Energia cinética é dada por:

A gente não acabou de achar uma relação da velocidade com ?

Sim, né... então basta a gente aplicar a relação que já encontramos na expressão da energia cinética:

Aquele expoente 2 cancela com a raiz quadrada:

Ahh, então conseguimos relacionar a energia cinética com o :

Como o termo é constante, achamos que a energia cinética varia com:

Na letra (c), queremos como o momento angular varia em função de .

O momento angular é dado pela expressão:

Então o momento angular varia proporcionalmente com , né?

NÃOOOO! Está errado...

Olha só para o resto da expressão:

O termo multiplicando , que é o termo não é uma constante, pois a velocidade também varia conforme o raio .

Ou seja, o momento angular não está variando somente conforme aquele da expressão.

Po, mas já achamos aquela expressão para a velocidade em função de :

Então, basta substituir:

Vamos tentar melhorar isso jogando o para dentro da raiz:

Separando o novamente, temos:

Agora sim o termo que multiplica é uma constante:

Então, o momento angular varia conforme a raiz quadrada de :

Na letra (d), queremos como o período varia em função de .

Bom, uma das várias maneiras de relacionar o período é através da expressão de velocidade média:

Se considerarmos uma volta completa na órbita, temos que o caminho percorrido é igual ao comprimento da circunferência:

Enquanto o tempo que o astro leva para completar isso é o próprio período :

Então, temos:

Para a velocidade podemos usar aquela expressão que já achamos no item (a):

Substituindo isso na expressão, temos:

Isolando o período, temos:

Passando o para dentro da raiz, temos:

Ahh, então conseguimos a expressão.

Vamos separar aquele do resto, para ver a proporcionalidade:

Como todo esse termo multiplicando é constante, temos que o período varia conforme: