Quatro planetas idênticos formam um quadrado, como mostrado na Figura 11-29. Se a massa de cada planeta é M e o lado do quadrado tem comprimento a , qual deve ser a rapidez de cada planeta, se eles devem permanecer em órbita em torno de seu centro comum, sob a influência de suas atrações mútuas?

Passo 1

Como o arranjo é simétrico, cada planeta vai apresentar a mesma força centrípeta, que aponta para o centro do quadrado. Dessa forma, vamos pegar um planeta e calcular a força centrípeta agindo sobre ele.

Passo 2

Vamos calcular então a força centrípeta resultante no planeta indicado:

A força centrípeta aponta para o centro do quadrado, logo:

F c = 2 F 1 cos ⁡ θ + F 2

Substituindo os valores:

F c = 2 G M 2 a 2 cos ⁡ 45 ° + G M 2 2 a 2 = G M 2 a 2 2 + 1 2

Passo 3

Sabemos que a força centrípeta tem a seguinte fórmula:

F c = M v 2 r

onde r = a 2 2 , que é o raio da órbita.

Logo, igualando as duas expressões que achamaos para a força centrípeta, teremos:

F c = 2 M v 2 a 2 = G M 2 a 2 2 + 1 2

v = G M a . 1 + 1 2 2 = 1 , 16 G M a

Resposta

v = 1 , 16 G M a

Exercícios Resolvidos de Velocidade e Período Orbital

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