Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 4, Exercício 21
(Cap. 13.4 - Ex. 21) Uma força com magnitude atua diretamente para cima do plano em um objeto com massa . O objeto começa na origem com velocidade inicial . Encontre sua função posição e sua velocidade escalar no instante .
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
O objetivo dessa questão aqui é encontrar uma função posição, e a velocidade escalar em um determinado instante, a partir de uma força, velocidade inicial e uma massa que foram dadas. Tá, mas como fazer isso?
Vamos seguir por partes. Primeiro, vamos lembrar aqui da segunda lei de Newton. Ela diz que a força está relacionada com a aceleração da seguinte maneira: . Mas por que isso vai ajudar a gente aqui? Porque para determinarmos a velocidade escalar, vamos utilizar a velocidade vetorial (que nós ainda não temos), onde essa nada mais é do que a integral da aceleração!! Vamos lá então?
Para utilizarmos a lei de Newton, vamos decompô-la:
Agora, vamos lembrar que se a força atua pra cima, ela está na direção ascendente a partir do plano , ou seja, na direção positiva de . Então, substituindo os valores de e de dados no enunciado, temos:
Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo :
Beleza! Mas o que fazemos com essa informação? Lembra que falamos aqui que a velocidade vetorial seria encontrada a partir dessa aceleração? Isso vai acontecer da seguinte forma:
A constante pode ser calculada com a condição inicial da velocidade, dada no enunciado.
No instante a velocidade é . Agora é só substituir:
Assim a velocidade vetorial é:
Passo 2
Agora que temos a velocidade vetorial, podemos encontrar a velocidade escalar, que é o que o problema pede! E como fazer isso? A velocidade escalar se dá pela norma do vetor aceleração:
Substituindo os valores encontrados no passo 1, na fórmula acima, temos:
Pronto! Encontramos a velocidade escalar! Vamos agora encontrar a outra parte do problema: a função posição.
Passo 3
O problema pede essa função posição, em função do tempo!
Então, vamos precisar lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo, temos a velocidade. Então, podemos tirar a integral das componentes dessa velocidade vetorial! Em termos de fórmula, vamos ter:
Onde é a função posição.
Vamos então substituir a velocidade vetorial encontrada no passo 1, na fórmula acima:
A constante é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial , podemos afirmar que essa constante é zero, pois:
Então, a função posição será:
Uhul! Conseguimos.
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?