Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole de tal forma que é uma constante positiva. Encontre o que se pede quando a partícula está em : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes normal e tangencial da aceleração, e .
Passo 1
Primeira coisa: vamos parametrizar o ramo superior dessa hipérbole.
Se você não se lembra bem, dá uma olhada de novo em “Parametrização”.
Entendeu por que eu coloquei o parâmetro como ? É por causa daquela parada que eu expliquei em “Vetor velocidade” de que pra falarmos de velocidade, o parâmetro tem que ser sempre o tempo e a parametrização da hipérbole é em função de um ângulo. Então fazemos esse ângulo ser uma função do tempo.
Passo 2
Agora, vamos ao que a questão pede para o ponto
Primeiro, o vetor posição neste ponto:
Essa é fácil né? Se a partícula está no ponto , qual a posição dela?
né?!
Então é isso, a posição é:
Passo 3
Ok, vetor velocidade:
Mas, no ponto a gente sabe que
Então a gente pode substituir isso ali em cima:
Mas
Substituindo isso:
Tranquilo?
Passo 4
Vetor aceleração:
Usamos regra do produto e regra da cadeia!
Agora temos que achar uma relação entre e já que as informações que o problema nos dá são sobre .
Já que a questão disse que é uma constante positiva, então sua segunda derivada é zero.
Agora, finalmente, substituindo no ponto , temos:
Pois
Que são relações que a gente já achou lá em cima :D
Beleza? Agora só falta substituir o ponto no vetor aceleração:
Passo 5
Vetor tangente unitário:
Passo 6
Vetor normal unitário:
O vetor normal pode ser calculado como
Assim, o vetor normal unitário fica:
Mas, esse denominador a gente já calculou né? Concorda que ele é igual a
Porque
Fazendo as substituições, então, temos:
Passo 7
A componente normal da aceleração é:
Passo 8
Já a componente tangencial da aceleração é: