Origem do Exercício
é a posição de uma partícula no espaço no instante . Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante para
Passo 1
Primeiro precisamos achar os vetores aceleração e velocidade no instante .
Para achar a velocidade, precisamos derivar o vetor :
E para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma de suas componentes:
Essas derivadas podem ser um pouco complicadas, então vamos calcular uma de cada vez.
Na primeira, precisamos usar a regra da cadeia:
Na segunda, é uma boa ter a fórmula decorada, ou olhar alguma tabela, porque a demonstração é bem complicada:
E na terceira, voltamos à regra da cadeia:
Então o vetor velocidade é:
Passo 2
Ok, agora para encontrar o vetor aceleração precisamos derivar o vetor velocidade!
Mais uma vez as derivadas são um pouco complicadas, então vamos fazer uma de cada vez. Em todos os casos precisamos aplicar a regra do quociente:
Começando pela primeira:
E a segunda:
E a terceira:
Então nosso vetor aceleração é:
Bem complicado!
Passo 3
Por sorte, o objetivo da questão é calcular o ângulo entre esses dois vetores no ponto . Então vamos substituir isso nas fórmulas:
E o vetor aceleração:
Então nosso objetivo é calcular o ângulo entre esses dois vetores.
Passo 4
A fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores é:
No numerador, temos o produto interno entre os dois vetores, e no denominador, temos o produto dos módulos! Vamos calcular esses valores.
O módulo do vetor velocidade é:
E o do vetor aceleração é:
E o produto interno dos dois vetores é:
Então:
Isso quer dizer que os dois vetores são perpendiculares! O ângulo entre eles é:
Resposta
O ângulo entre os vetores mede no instante .