UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 1
Se
Mostre que
Passo 1
Temos uma função e queremos calcular a derivada dela.
Acontece que nossa função é o produto de outras funções de , então pra derivar vamos ter que usar a regra do produto, lembrando daquelas regrinhas de derivação de quando a gente tem um produto escalar e um produto vetorial entre dois vetores:
- (Regra do produto)
- (Regra do produto)
Passo 2
Vamos lá então. Nossa função é:
Usando a regra do produto para o produto escalar, temos:
Passo 3
Agora vamos usar a regra do produto pra produto vetorial, para podermos fazer a derivada desse último termo aí:
Passo 4
Substituindo agora na fórmula do passo 2:
Fazendo a distributiva:
Passo 5
Beleza, parece que não chegamos a lugar nenhum.
Mas agora é o momento de pensarmos um pouquinho.
Produto vetorial entre dois vetores é sempre algo que nos retorna um vetor que é perpendicular, simultaneamente, a esses dois vetores.
Assim, no primeiro termo nessa nossa equação aí de cima, ficaremos com o produto escalar entre o vetor e um vetor que é perpendicular a e . Ou seja, teremos o produto escalar entre dois vetores perpendiculares, que são o vetor e um vetor resultante do produto vetorial, que é perpendicular ao vetor
E, o produto escalar entre dois vetores perpendiculares, nós já sabemos que é nulo. Assim, nosso primeiro termo morre e ficamos com a equação:
Passo 6
Agora precisamos pensar numa justificativa para que esse (novo) primeiro termo, da equação acima, seja nulo também, porque aí finalmente chegaríamos na expressão que a questão nos pede pra provar que é verdadeira.
Vamos a essa missão então.
Se a gente imaginar que é a parametrização da trajetória de uma partícula, o vetor representa a velocidade da partícula e o vetor representa sua aceleração.
Já sabemos que o produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores do produto, que no caso, é o vetor aceleração .
E, sabemos que o vetor aceleração é paralelo a trajetória de uma partícula.
Assim, o produto vetorial
Vai nos dar um vetor que é perpendicular ao vetor aceleração e que, consequentemente, será perpendicular ao vetor posição .
OPA! Então o produto escalar
É um produto escalar entre dois vetores perpendiculares.
Logo, vale zero também.
Assim, conseguimos nossa justificativa pra anular esse termo e nossa equação fica apenas
Que é justamente o que a questão nos pede pra provar.
UHUL GRAZADEUS CONSEGUIMOS.