Uma partícula se move no plano de modo que seus vetores velocidade e aceleração são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move num circulo centrado na origem.
Passo 1
Como o problema pede, vamos supor que a partícula se move num círculo centrado na origem. Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória, então, se o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, significa que ele está na mesma direção do vetor posição.
Se a gente provar que o vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais, provamos também que velocidade e aceleração também o são.
Fazemos:
Passo 2
Sabemos que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo. Assim:
Agora a gente faz uma manobra aqui:
Faz sentido né?
Passo 3
Agora, se a gente escrever
Vamos ver que o que temos é a regra de derivação para produto escalar entre e :
Passo 4
Mas
E considerando que a trajetória é um circulo, é uma constante, igual ao raio da trajetória.
Passo 5
E essa é exatamente a equação do circulo centrado na origem!!
Assim, provamos que a trajetória é um circulo centrado na origem :D
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)