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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

  1. Calcule a componente z - do centro de massa do sólido W dado por x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 z , z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 3 x 2 + y 2 , se a densidade no ponto x ,   y ,   z é inversamente proporcional ao quadrado da distancia do ponto à origem.

Passo 1

Bem, o z -   do centro de massa se calcula por

z - = ∭ W z ρ x ,   y ,   z d V M a s s a W

Onde ρ x ,   y ,   z é a função densidade do sólido e a M a s s a W = ∭ W ρ x ,   y ,   z d V .

Mas aí surge duas duvidas não é verdade?!

  1. Quem é o sólido W que estamos trabalhando?
  2. Quem é a função δ x ,   y ,   z ?

Passo 2

Vamos começar aqui respondendo a primeira pergunta... Quem é o sólido W que estamos trabalhando?

Cara, não pira, pois esse sólido é e não é complicado ao mesmo tempo, porque precisamos apenas saber de duas superfícies basicamente, as outras duas são basicamente as mesmas saca?

Note que x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z é uma esfera, mas ela está deslocada. Se levarmos para sua forma original de esfera completando quadrado...

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z         →             x 2 + y 2 + z 2 - 2 z ≥ 0       →

x 2 + y 2 + z - 1 2 - 1 ≥ 0         →

x 2 + y 2 + z - 1 2 ≥ 1

Viu só? Uma esfera de raio 1 e com o centro deslocada em z :

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 z também é uma esfera, mas...

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 8 z         →         x 2 + y 2 + z - 4 2 ≥ 16    

de raio 4 e centrada 4 unidades pra cima.

z ≥ x 2 + y 2 é um cone que delimita em baixo (representado em verde), z ≤ 3 x 2 + y 2 , um cone que delimita em cima:

Eis o sólido W !:)

Passo 3

Bem, estamos trabalhando dentro de uma esfera, então... Nada mais justo utilizarmos as coordenadas esféricas, onde

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                    

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ              

E uma equação que é bastante útil é a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 4

Vamos começar aqui pelo mais fácil! Pelo ângulo θ , afinal de contas esse ângulo está dando uma volta completa, então logo ele só pode estar girando de 0 até 2 π .

0 ≤ θ ≤ 2 π

Em relação ao ângulo φ , pow, repare que ele está variando do cone superior, z = 3 x 2 + y 2 , ao cone inferior

C o n e   V e r d e ≤ φ ≤ C o n e   a z u l

Substituindo as coordenada polares nas equação dos cones... vamos ver no que dá (Veja em relação z = 3 x 2 + y 2 )

z = 3 x 2 + y 2               →               r cos ⁡ φ = 3 r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2           →  

r cos ⁡ φ = 3 r 2 sin 2 ⁡ φ ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )           →          

r cos ⁡ φ = 3   r sin ⁡ φ       →

Passando esse r cos ⁡ φ pro lado de lá e esse 3 pro lado de cá...

r sin ⁡ φ r cos ⁡ φ = 1 3           →         tan ⁡ φ = 1 3       →           φ = 30 ° = π 6

Sacou?

Em relação ao outro cone, z = x 2 + y 2

z = x 2 + y 2             →           r cos ⁡ φ =   r sin ⁡ φ           →                 tan ⁡ φ = 1               →

      φ = 45 ° = π 4

logo

π 6 ≤ φ ≤ π 4

Passo 5

Só nos falta o r , e pow, note que o r , entra na esfera menor, e sai na esfera maior

E s f e r a   m e n o r ≤ r ≤ E s f e r a   m a i o r

A esfera menor tem x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z como equação. De modo análogo ao passo anterior, substituímos as polares para ver no que vai dar. Veja:

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 z           →                 r 2 ≥ 2   r cos ⁡ φ             →

r ≥ 2 cos ⁡ φ

Enquanto que a esfera maior...

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 8 z             →                   r 2 ≥ 8   r cos ⁡ φ       →

r ≥ 8   cos ⁡ φ

logo

2   cos ⁡ φ ≤ r ≤ 8   cos ⁡ φ

Passo 6

Wow! Yeah! A segunda pergunta...

  1. Quem é a função δ x ,   y ,   z ?

Bem... O próprio enunciado disse que a densidade é inversamente proporcional ao quadrado distancia de um ponto a origem. A distância a esse ponto é

d = x 2 + y 2 + z 2

logo

ρ x ,   y ,   z = k d 2 = k x 2 + y 2 + z 2

onde k é a constante de proporcionalidade, ok?

Passo 7

Podemos então agora montar a primeira integral que precisamos para matar o nosso problema:

∭ W z ρ x ,   y ,   z d V = ∭ W z k x 2 + y 2 + z 2 d V

Trocando para as coordenadas esféricas não esquecendo do Jacobiano:

∭ W z k x 2 + y 2 + z 2 d V = k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ r cos ⁡ φ r 2 J   d r d φ d θ =  

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ cos ⁡ φ r r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ r sin ⁡ φ cos ⁡ φ   d r d φ d θ =

Integrando o de dentro...

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ r   d r d φ d θ =

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ r 2 2 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ d φ d θ =

substituindo e simplificando...

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ 2 2 - 2   cos ⁡ φ 2 2 d φ d θ =

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 64   cos 2 ⁡ φ 2 - 4   cos 2 ⁡ φ 2 d φ d θ =

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ 30   cos 2 ��� φ d φ d θ = 30 k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos 3 ⁡ φ d φ d θ

Para calcular essa integral do meio aqui, fazemos uma substituição simples...

cos ⁡ φ = t         →           - d t = sin ⁡ φ d φ

Não se esqueça de trocar os limites...

φ = π 6               →                   cos ⁡ π 6 = t                 →                 t = 3 2

φ = π 4               →                   cos ⁡ π 4 = t                 →                 t = 2 2

Retornando à integral...

30 k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos 3 ⁡ φ d φ d θ = 30 k ∫ 0 2 π ∫ 2 2 3 2 - t 3 d t d θ

- 30 k ∫ 0 2 π t 4 4 2 2 3 2 d θ = - 30 k 3 2 4 4 - 2 2 4 4 ∫ 0 2 π d θ =

- 30 k 9 64 - 1 16 2 π = - 60 5 64 k =

ganhamos

- 75 k π 16

Passo 8

Indo então para a próxima integral... (não desista, pois ainda precisamos da massa hehe)

∭ W ρ x ,   y ,   z d V = ∭ W k x 2 + y 2 + z 2 d V =

Trocando para as coordenadas esféricas não esquecendo do Jacobiano:

∭ W k x 2 + y 2 + z 2 d V = k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ 1 r 2 J   d r d φ d θ =  

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ 1 r 2 r 2 sin ⁡ φ   d r d φ d θ = k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ sin ⁡ φ   d r d φ d θ =

E repetindo todo o processo de resolução de integrais triplas...

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ ∫ 2   cos ⁡ φ 8   cos ⁡ φ   d r d φ d θ =

k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ 6   cos ⁡ φ d φ d θ = 6 k ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 4 sin ⁡ φ cos ⁡ φ d φ d θ

cos ⁡ φ = t         →           - d t = sin ⁡ φ d φ

φ = π 6               →                   cos ⁡ π 6 = t                 →                 t = 3 2

φ = π 4               →                   cos ⁡ π 4 = t                 →                 t = 2 2

6 k ∫ 0 2 π ∫ 2 2 3 2 - t d t d θ = - 6 k ∫ 0 2 π t 2 2 2 2 3 2 d θ =

- 6 k 3 2 2 2 - 2 2 2 2 ∫ 0 2 π d θ =

ganhamos...

- 6 k 3 8 - 2 8 2 π = - 3 k π 2

Passo 9

Voltando para a fórmula e substituindo...

z - = ∭ W z ρ x ,   y ,   z d V M a s s a W =

- 75 k π 16 - 3 k π 2

dividindo ganhamos...

= 25 8

Resposta

25 8

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Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Utilize coordenadas esféricas.Determine o centroide do sólido do exercício 25.
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Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.39. O sólido do exercício 19; ρ x , y , z = x 2 + y 2
Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.40. O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 ;ρ x , y , z =