Determine o centro de massa do cubo , , , cuja densidade no ponto é .
Passo 1
Como nós sabemos, as coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
Onde são momentos e é a massa total do sólido. Então vamos calcular cada um desses termos separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa . Se a função densidade é , então
Como é um cubo, podemos escrever direto , e na integral:
Resolvendo isso aí, temos
Passo 3
Agora vamos calcular os momentos.
Substituindo os intervalos:
Passo 4
Por último
Substituindo os intervalos:
Passo 5
Temos:
Substituindo os intervalos:
Passo 6
Show, agora vamos juntar isso tudo para encontrar o centro de massa: