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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 18

Determine a massa e o centro de massa do cubo Q   =   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ] cuja densidade é dada pela função δ ( x ,   y ,   z )   =   x 2   +   y 2   +   z 2

.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez vamos trabalhar com centro de massa!!!

Nosso objetivo é calcular a massa e o centro de massa do cubo Q   =   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ] cuja densidade é dada pela função δ ( x ,   y ,   z )   =   x 2   +   y 2   +   z 2

Lembram como fazemos isso?

A massa do cubo é dada por:

M = ∫ ∫ ∫ Q δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

E os centro de massa são dados por

x ̄ = ∫ ∫ ∫ Q x δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z M ( Q )

onde M ( Q ) é a massa do cubo.

Vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos começar calculando a massa do cubo. Temos que

M = ∫ ∫ ∫ Q δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z

como Q   =   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ]   ×   [ 0 ,   a ] . Então a integral fica

M = ∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Integrando temos

= ∫ 0 a ∫ 0 a a 3 / 3 + a y 2 + a z 2 d y d z

Integrando em y

= ∫ 0 a a 4 / 3 + a 4 / 3 + a 2 z 2 d z

por fim temos que

= a 5 / 3 + a 5 / 3 + a 5 / 3

= a 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de massa. Pela definição ele é dado por

x ̄ = ∫ ∫ ∫ Q x δ ( x ,   y ,   z ) d x d y d z M ( Q )

nesse caso a massa do cubo é a 5

= a - 5 ∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 3 + x y 2 + x z 2 d x d y d z

= a - 5 ∫ 0 a ∫ 0 a a 4 / 4 + a 2 y 2 / 2 + a 2 z 2 / 2   d y d z

= a - 5 ∫ 0 a ∫ 0 a a 5 / 4 + a 5 / 6 + a 3 z 2 / 2 d z

= a - 5 ( a 6 / 4 + a 6 / 6 + a 6 / 6 )

= 7 a 12

Pela simetria do cubo e da função de densidade, o centro de massa será dado por

( 7 a 12 , 7 a 12 , 7 a 12 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.40. O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 ;ρ x , y , z =