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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Exercício 9123456781011121314151617181920

Enunciado

Integrais triplas

Determine o centro de massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , cuja densidade no ponto ( x , y , z ) é ρ x , y , z = x .

Passo 1

Como nós sabemos, as coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:

x - = M y z m

y - = M x z m

z - = M x y m

Onde M são momentos e m é a massa total do sólido. Então vamos calcular cada um desses termos separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa m . Se a função densidade é ρ , então m = ∭ W   ρ x , y , z d V = ∭ W   x d V

Como é um cubo, podemos escrever direto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 na integral:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d y d z

Resolvendo isso aí, temos

m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d y d z

m = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z

m = 1 2 ∫ 0 1 y 0 1 d z

m = 1 2 ∫ 0 1 d z

m = 1 2 z 0 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos.

M y z = ∭ w   x ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x 2 d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 d x d y d z

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 3 0 1 d y d z

M y z = 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z = 1 3

Passo 4

Por último

M x y = ∭ w   z ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x z d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x z d x d z d y

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 z 0 1 d z d y

M y z = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 z   d z d y

M y z = 1 2 ∫ 0 1 z 2 2 0 1 d y

M y z = 1 4 ∫ 0 1 d y = 1 4

Passo 5

Temos:

M y x = ∭ w   y ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x y d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y d x d y d z

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 y 0 1 d y d z

M y z = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 y   d y d z

M y z = 1 2 ∫ 0 1 y 2 2 0 1 d z

M y z = 1 4 ∫ 0 1 d z = 1 4

Passo 6

Show, agora vamos juntar isso tudo para encontrar o centro de massa:

x - = M y z m = 1 / 3 1 / 2 = 2 3

y - = M x z m = 1 / 4 1 / 2 = 1 2

z - = M x y m = 1 / 4 1 / 2 = 1 2  

x - , y - , z - = 2 3 , 1 2 , 1 2

Resposta

x - , y - , z - = 2 3 , 1 2 , 1 2

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Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.40. O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 ;ρ x , y , z =