Um sólido de densidade constante é limitado abaixo pelo plano , acima pelo cone , e dos lados pelo cilindro . Encontre o centro de massa.
Passo 1
Como temos um sólido limitado por um cilindro, vamos usar as coordenadas cilíndricas para resolver nosso problema! As coordenadas cilíndricas são e .
Pelos limites do sólido temos que
Pelos lados dentro do cilindro ,
Agora falta a variável ,
Pronto, agora vamos calcular a integral que no da a massa e o centro de massa!
Passo 2
Para calcular o centro de massa precisamos encontrar a massa do sólido e os momentos! Como a densidade é constante e não sabemos seu valor, vamos chamas ela de . Em coordenadas cilíndricas a massa é dada por,
Passo 3
Agora o calculo dos momentos,
Como o sólido é simétrico em relação ao eixo , temos que
Para determinar o centro de massa falta a coordenada :
Assim,