Calcule a massa da região limitade pelo cone e pela esfera , sabendo que a densidade é dada por

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Vamos reescrever essa equação da esfera:

Pronto, temos uma esfera centrada em .

Como o cone está expresso na forma e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com . Temos, então, essa região da figura.

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que , pois o sólido está envolta do eixo ,fazendo uma volta completa. Os valores de , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

Temos, então,

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo , quando até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:

Portanto, . A região será escrita como:

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

Agora integraremos em relação a :

Agora em relação a :

Finalmentre, em relação a :