Calcule a massa do solido E = { x, y, z : x^2 + y^2 + z^2 ≤ b^2, z ≥ a > 0 } , com a < b e ∂(x, y, z) = z .

Passo 1

Olá meu caro colega, pronto para calcularmos a massa de um solido? Sim, sim, isso é bem possível e para tal feito iremos utilizar das nossas queridas amigas integrais triplas. Para facilitar nossas vidas iremos parametrizar esse solido,

x = ρ sin ⁡ α cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ α cos ⁡ θ z = ρ cos ⁡ θ

J = ρ 2 sin ⁡ α

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ α ≤ cos - 1 ⁡ a b

0 ≤ ρ ≤ b

O que temos é que queremos apenas a região superior da esfera que representa o nosso solido pois z ≥ 0

Passo 2

Jogando na nossa integral a parametrização, se atentando aos intervalos

m = ∫ ∫ ∫ D   z d x d y d z

= ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b ∫ 0 b p cos ⁡ α p 2 s i n α d p d α d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b cos ⁡ α s i n α ρ 4 4 0 b d α d θ

= b 4 8 ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b sin ⁡ 2 α d α d θ

= - b 4 16 ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ α - 1 0 cos - 1 ⁡ a b d θ

= - b 4 16 ∫ 0 2 π 2 a 2 b 2 - 1 - 2 - 1 d θ

= - b 4 8 ∫ 0 2 π a 2 b 2 - 1 d θ

= - b 4 4 a 2 b 2 - 1 π

= π ( - a 2 b 2 + b 4 ) 4

Resposta

= π ( - a 2 b 2 + b 4 ) 4

Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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