Coordenadas cilíndricas
Calcule a massa do sólido limitado por e com densidade .
Passo 1
O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:
Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:
Passo 2
Beleza, agora precisamos escrever essa região de integração. Temos duas superfícies com equações parecidas limitando :
Vamos descobrir onde elas se encontram:
Para a equação ser satisfeita, ou . Logo, sabemos que as superfícies se encontram nesses dois valores de . Para , então, .
Ok, de que isso nos adianta?
Percebeu que a questão tem o termo “” algumas vezes? Isso quer dizer que usar coordenadas cilíndricas pode ser uma boa, pois esse termo vira em coordenadas cilíndricas, lembra? Vamos fazer:
As equações das superfícies viram, então:
Beleza. Como vai desde uma superfície até a outra, podemos escrever:
Como não temos mais nenhuma outra restrição, . Podemos escrever a região como:
Passo 3
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral:
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Passo 5
Agora em relação a :
Passo 6
Finalmente, em relação a :