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Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Exercício 41235678910111213141516171819202122

Enunciado

Calcule a energia cinética de um próton (massa igual a 1,67 × 10 - 27   k g ) usando a expressão relativística e também a expressão não-relativística e calcule a razão entre os dois resultados (relativística dividida pela não-relativística) para velocidades de

a)   8,0 × 10 7   m / s

b)   2,85 × 10 8   m / s

Passo 1

A expressão relativística é dada por:

K r = E - m c 2

K r = γ m c 2 - m c 2 = γ - 1 m c 2

A expressão não-relativística é dada por:

K n r = 1 2 m v 2

Onde m = 1,67 × 10 - 27   k g .

Passo 2

Letra (a): v = 8,0 × 10 7   m / s

Energia cinética relativística:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Onde c = 3 × 10 8   m / s .

γ = 1 1 - 8,0 × 10 7 3 × 10 8 2   = 1,0375

Assim:

K r = γ - 1 m c 2

Onde:

γ = 1,0375 ;

m = 1,67 × 10 - 27   k g ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

K r = 1,0375 - 1 × 1,67 × 10 - 27 × 3 × 10 8 2

K r = 5,65 × 10 - 12 J

Passo 3

Energia cinética não-relativística:

K n r = 1 2 m v 2

Onde:

m = 1,67 × 10 - 27   k g ;

v = 8,0 × 10 7   m / s ;

Logo:

K n r = 0,5 × 1,67 × 10 - 27 × 8,0 × 10 7 2

K n r = 5,34 × 10 - 12 J

Passo 4

K r K n r = 5,65 × 10 - 12 5,34 × 10 - 12 = 1,06

Passo 5

Letra (b): v = 2,85 × 10 8   m / s

Energia cinética relativística:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Onde c = 3 × 10 8   m / s .

γ = 1 1 - 2,85 × 10 8 3 × 10 8 2   = 3,2025

Assim:

K r = γ - 1 m c 2

Onde:

γ = 3,2025 ;

m = 1,67 × 10 - 27   k g ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

K r = 3,2025 - 1 × 1,67 × 10 - 27 × 3 × 10 8 2

K r = 3,31 × 10 - 10 J

Passo 6

Energia cinética não-relativística:

K n r = 1 2 m v 2

Onde:

m = 1,67 × 10 - 27   k g ;

v = 2,85 × 10 8   m / s ;

Logo:

K n r = 0,5 × 1,67 × 10 - 27 × 2,85 × 10 8 2

K n r = 6,78 × 10 - 11 J

Passo 7

K r K n r = 3,31 × 10 - 10 6,78 × 10 - 11 = 4,88

Resposta

Letra (a):

Não-relativística: 5,34 × 10 - 12 J

Relativística: 5,65 × 10 - 12 J

1,06

Letra (b):

Não-relativística: 6,78 × 10 - 11 J

Relativística: 3,31 × 10 - 10 J

4,88

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