O LHC (Large Hadron Colider) acelera partículas subatômicas a velocidades próximas à da luz para o estudo de colisões relativísticas e produção de matérias através da equivalência massa energia.

Considere duas partículas, inicialmente com massas de repouso iguais a , e se movendo com velocidades de módulos iguais em relação ao laboratório, , e em sentidos opostos, em rota de colisão, como mostra a figura abaixo.

Durante a colisão, as partículas são destruídas e duas novas partículas idênticas, com uma nova massa de repouso são geradas se afastando uma da outra, com velocidade de módulos iguais medidas no laboratório, , como mostra a figura abaixo.

Quando for o caso, deixe a sua resposta em função da velocidade da luz .

1. Sabendo que o diâmetro próprio das partículas originais é de , calcule o valor da sua extensão longitudinal (na direção do movimento) medido no referencial de repouso do LHC.
2. Calcule a massa relativística, em , e o módulo do momento de cada partícula antes da colisão. Calcule a energia relativística total do sistema.
3. Calcule a massa de repouso das novas partículas emergentes, em , após a colisão.
4. A soma das energias cinéticas das partículas antes da colisão é igual à soma das energias cinéticas das partículas depois da colisão? Mostre.

Onde:

;

;

Logo:

Letra (b): Calcule a massa relativística, em , e o módulo do momento de cada partícula antes da colisão. Calcule a energia relativística total do sistema.

A massa relativística é dada por:

Onde é a massa em repouso que, no caso, é dada por . E é a velocidade da partícula, que vale . Portanto:

O momento linear relativístico é dado por:

Antes da colisão, a velocidade de cada partícula é . Logo:

A energia total de cada partícula é:

Onde . Logo, a energia de cada partícula é:

A energia do sistema será a soma das energias de cada partícula, logo:

Letra (c): Calcule a massa de repouso das novas partículas emergentes, em , após a colisão.

Usando o princípio da conservação de energia, a energia total do sistema antes da colisão deve ser igual à energia total do sistema após a colisão.

Novamente, as duas partículas possuem a mesma massa em repouso e a mesma velocidade . Portanto:

Onde:

;

;

Logo:

Letra (d): A soma das energias cinéticas das partículas antes da colisão é igual à soma das energias cinéticas das partículas depois da colisão? Mostre.

A energia cinética da partícula é dada por:

Onde:

Antes da colisão, . Assim:

E . Portanto:

Como as duas partículas possuem a mesma energia cinética, a soma das energias cinéticas antes da colisão será:

Após a colisão, . Assim:

E . Portanto:

Como as duas partículas possuem a mesma energia cinética, a soma das energias cinéticas antes da colisão será:

Logo, as energias cinéticas antes de depois da colisão são diferentes.