UNB, UnB - Gama, Física 1, P3 - 2017.1, Questão 1
Um veículo possui massa de tonelada e quatro rodas de liga leve de massa cada e diâmetro de . Outro veículo idêntico possui rodas de aço de de diâmetro, e mesma massa das de liga leve. Compare a velocidade dos veículos ao final de uma descida de de comprimento e inclinação de . Suponha que ambos veículos tenham velocidade inicial nula.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bem?
Essa questão nos traz uma situação bem interessante. Basicamente, dois carros idênticos descem uma mesma rampa, de inclinação de e de comprimento. A diferença é que o primeiro carro possui rodas de diâmetro de e o segundo carro possui rodas de .
O objetivo do exercício é que comparemos a velocidade desses veículos ao final da descida da rampa. Beleza?
Se a gente pensar nesses carros como sendo pontuais, essa pergunta vai soar bem estranha. Pois sabemos que para partículas, a velocidade final em uma descida independe da massa, dependendo apenas da altura inicial do corpo. O grande ponto aqui é que não estamos tratando de partículas, mas de corpos extensos. Por isso, existe uma outra parcela de energia relacionada: a energia cinética de rotação.
Assim, imaginando que não há perda de energia por atrito (ou ainda que essas perdas são iguais para os dois carros), podemos montar a seguinte equa��ão de energia:
Onde a energia cinética de rotação é dada por:
Onde é o momento de inércia da roda (e multiplicamos por pois são rodas), dado por:
Massa! Então, como a única coisa diferente entre os dois carros é o raio das suas rodas, vamos encontrar uma expressão para a velocidade em função dos outros parâmetros que temos.
A partir dessa expressão, analisamos como o raio da roda irá influenciar na velocidade final dos carros.
Passo 2
Bom, precisamos manipular a nossa equação de energia abaixo:
A energia potencial gravitacional é dada por , onde é a massa completa do carro e é a altura inicial do mesmo.
Como cada veículo pesa tonelada, e cada uma das rodas pesam , temos:
Levando em conta também que a rampa tem inclinação de e comprimento de , usando o seno da inclinação temos:
Logo:
Tudo bem, vamos guardar esse resultado!
Vamos analisar agora o lado direito da nossa equação de energia. Temos para a energia cinética de translação:
Beleza!
E, por fim, a parcela da energia cinética de rotação. Considerando a roda com um cilindro maciço:
Como a velocidade angular é dada por:
Substituindo na nossa expressão, temos:
Como a massa de cada roda é de , vamos ter:
Muito bom!
Passo 3
Agora que já destrinchamos cada uma das parcelas de energia, vamos juntar tudo novamente na nossa equação:
Como:
Vamos ter:
Logo:
Olha que interessante, no final das contas vimos que a velocidade não dependia do raio das rodas do veículo. Na verdade, a dependência do raio sumiu no produto:
Pois o momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e a velocidade angular é inversamente proporcional ao quadrado do raio.
Sendo assim, levando em conta as suposições de que a perda por atrito de ambos os carros é igual, podemos afirmar que ao final da descida as velocidades finais de ambos os veículos devem ser a mesma.
Resposta
Devem possuir a mesma velocidade.