Uma partícula com massa de repouso e energia total igual duas vezes sua energia de repouso colide com uma partícula , idêntica, em repouso. Após a colisão forma-se uma única partícula com massa de repouso . Nos itens abaixo, expresse suas respostas em termos da velocidade da luz e de .
(a) Calcule a velocidade da partícula antes da colisão.
(b) Calcule a velocidade e a massa da partícula resultante
(c) Calcule a energia cinética da partícula resultante.
Passo 1
Como a energia de repouso é a energia total da partícula será . Assim, sabendo que a energia total relativística é , temos
Como
Passo 2
Primeiro vamos olhar para a conservação de energia. Pelo enunciado a energia total da partícula é enquanto que a energia total da partícula (que está em repouso) é . Assim a energia total antes da colisão será
A partícula resultante terá massa de repouso e velocidade (que ainda temos que encontrar). Logo a energia total dessa partícula resultante será a energia total depois da colisão
onde
Dessa forma pela conservação de energia temos
Repare que esta última equação relaciona a massa de repouso com a velocidade da partícula resultante. Até agora temos uma equação e duas incógnitas. Precisamos de mais uma equação! Para isso vamos para o próximo passo
Passo 3
Agora vamos olhar a conservação de momento linear! O momento de uma partícula relativística é . Já sabemos que antes da colisão, a velocidade da partícula é (e assim ) e que a partícula está em repouso, ou seja, tem momento . Assim
Já o momento depois da colisão será somente o momento da partícula resultante
Assim pela conservação de momento
Passo 4
Pronto! Agora temos duas equações e duas incógnitas! Só precisa agora resolver um sisteminha. Você pode resolver usando o seu método favorito.
Eu aqui vou fazer do jeito estiloso vendo pela equação da conservação de energia que . E esse termo também aparece na equação da conservação de momento! Assim a conservação de momento fica
Passo 5
Agora só falta achar a massa de repouso . Para isso basta substituir o que acabamos de achar em qualquer uma das equações. Aqui eu vou usar a equação da conservação de energia mas fica à vontade pra usar a que você quiser ;)
Parece que tem esse para atrapalhar a nossa vida mas ele é moleza de calcular
Agora finalmente pela conservação de energia
Passo 6
Temos que a energia cinética relativística da partícula resultante é dada por
Como já sabemos que e que , basta só substituir e calcular